ED 017

Vinte e três aniversários e uma aposta favorável

Uma sala com vinte e três pessoas basta para que a coincidência de data seja mais provável que a ausência dela, e quase ninguém aceita de primeira.

Sala de festa com vinte e três convidados sob luz baixa.

Vinte e três convidados e uma data repetida

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Em 1939, o matemático austríaco Richard von Mises publicou um artigo técnico sobre problemas de ocupação na revista da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. O texto tratava de bolas caindo em caixas, e no meio dele aparecia uma pergunta que qualquer pessoa entende sem estudo nenhum.

A pergunta era: quantas pessoas precisam estar numa sala para que a chance de duas fazerem aniversário no mesmo dia do ano passe de metade.

A resposta que sai da conta é vinte e três. Não vinte e três dezenas, nem cento e oitenta e três, que seria a metade do calendário. Vinte e três pessoas, um time de futebol somado ao banco de reservas, e a aposta na coincidência já paga melhor do que a aposta na ausência dela.

Quase todo mundo que ouve o número pela primeira vez acha que ele está errado por um fator de dez. A sensação é tão firme que o resultado ganhou apelido de paradoxo, mesmo não havendo paradoxo nenhum: existe apenas uma conta correta e uma intuição que responde a outra pergunta.

E é aí que mora a armadilha. O cérebro escuta a pergunta do grupo e responde a pergunta pessoal, que é outra coisa: quantas pessoas preciso encontrar para que alguma delas faça aniversário no meu dia. Essa segunda pergunta, sim, precisa de mais de duzentas pessoas.

A diferença entre as duas versões é que a primeira não escolhe ninguém de antemão. Ela vale para qualquer par que se forme na sala, e a quantidade de pares cresce muito mais rápido do que a quantidade de convidados.

Guarde a distinção entre uma pergunta sobre você e uma pergunta sobre o grupo inteiro. Ela é o eixo do enigma de hoje e também da conta que ficou pendente no palco de auditório, com as três portas fechadas, o bode revelado e o convite para trocar de porta.

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I A resposta de ontem

A porta que ele foi obrigado a abrir

Três portas, um carro atrás de uma e um bode atrás de cada uma das outras duas. Você aponta a porta 1, o apresentador abre a porta 3 e mostra um bode, e então oferece a troca pela porta 2. Trocar vence, e vence com folga.

Sua primeira escolha acerta o carro em uma de cada três tentativas. Esse número foi fixado no instante em que você apontou, antes de qualquer porta abrir, e nada que aconteça depois no palco pode alterá-lo.

Se a sua porta ganha em um terço das vezes, todo o resto da probabilidade, os dois terços restantes, mora nas outras duas portas. O apresentador não apaga essa massa quando abre uma delas: ele apenas mostra em qual das duas ela não está.

Repare no que ele pode e não pode fazer. Ele nunca abre a porta que você apontou e nunca abre a porta do carro, e essas duas restrições valem em toda rodada, não são sorteadas.

Percorra os três começos possíveis, cada um com a mesma chance de acontecer:

Sua porta tem o carro

trocar perde

Sua porta tem o bode A

trocar ganha

Sua porta tem o bode B

trocar ganha

Dois dos três começos terminam com o carro na porta que sobrou. A troca converte a sua chance inicial de um terço na chance complementar de dois terços, e não existe truque escondido em lugar nenhum da mesa.

O ponto que trava quase todo mundo é a impressão de simetria. Restam duas portas fechadas, elas parecem iguais por fora, e a cabeça conclui que cada uma vale metade.

Só que as duas portas chegaram até ali por caminhos completamente diferentes. Uma foi apontada por você, no escuro, sem informação nenhuma. A outra foi poupada por alguém que enxergava o conteúdo das três e agia sob a obrigação de não estragar o programa.

Existe um teste limpo para separar quem entendeu de quem decorou. Se o apresentador abrisse uma porta ao acaso, sem saber o que havia atrás, e por sorte saísse um bode, aí sim as duas portas fechadas valeriam metade cada.

O que muda tudo é a intenção por trás do gesto. Uma porta aberta por acaso não carrega informação sobre as outras, e uma porta aberta por quem sabe carrega toda a informação que ele foi obrigado a esconder.

Guarde a lição de leitura, porque ela reaparece agora numa sala de festa. Uma pergunta que parece falar de você quase sempre está falando do grupo inteiro, e a conta muda de tamanho conforme quem é o sujeito da frase.

II O Enigma do dia

A aposta que se ganha numa sala pequena

Vinte e três pessoas entram numa sala. Ignore anos bissextos e suponha que os aniversários se espalhem de forma uniforme pelos trezentos e sessenta e cinco dias do ano. Qual é a chance de pelo menos duas dessas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia, e por que o número de pessoas necessário é tão menor do que a intuição promete?

A pergunta é sobre pelo menos duas pessoas quaisquer, não sobre você e mais alguém. Nenhuma data é escolhida antes, nenhum convidado é privilegiado, e qualquer par serve para fechar a aposta.

O caminho mais curto para a resposta é calcular o contrário. Em vez de somar todas as maneiras de haver coincidência, calcule a chance de todos os aniversários serem diferentes e subtraia de um.

A segunda pessoa tem 364 dias livres em 365. A terceira tem 363, a quarta tem 362, e a chance de ninguém repetir é o produto de todas essas frações encolhendo juntas.

Fora da regra: procurar gêmeos na sala, apelar para picos reais de natalidade em certos meses do ano, ou responder a versão pessoal da pergunta, aquela em que a data já está marcada antes de a sala se formar.

Onde quase todo mundo trava

A reação imediata é dividir o calendário pela metade e chutar algo perto de cento e oitenta pessoas. A conta parece razoável porque trata o problema como se cada pessoa precisasse cobrir um dia do ano sozinha.

A segunda reação, mais teimosa, aceita que o número é menor, mas insiste em algo na casa das dezenas altas. Ela ainda conta pessoas, quando o que produz a coincidência é outra coisa.

A sala não tem vinte e três chances de repetir uma data. Ela tem duzentos e cinquenta e três pares de pessoas, e basta um deles fechar para a aposta ser ganha.

Cada par é uma tentativa independente o bastante para o efeito ser sentido, e o número de pares cresce com o quadrado do tamanho do grupo, não com o tamanho do grupo. Dobrar os convidados quadruplica as tentativas.

A escada de resultados fica assim:

10 pessoas

cerca de 12 por cento

23 pessoas

50,7 por cento

41 pessoas

cerca de 90 por cento

57 pessoas

mais de 99 por cento

O salto entre vinte e três e cinquenta e sete é a parte que mais desmonta a intuição. Bastam trinta e quatro convidados a mais para sair de uma moeda honesta para uma quase certeza, e ainda sobram trezentos e oito dias do calendário sem dono.

A pergunta continua de pé e ela é sobre o mecanismo, não sobre o número. Explique por que contar pares, e não pessoas, é o que faz a sala pequena bastar.

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III Sequência

Trinta salas e uma lista de datas

O experimento dispensa festa e dispensa convidado. Você precisa apenas de listas prontas de vinte e três nomes com datas de nascimento conhecidas, e o mundo está cheio delas.

A fonte mais fácil é o esporte. Uma convocação de seleção costuma trazer exatamente vinte e três jogadores com data de nascimento publicada, e a mesma coisa vale para elencos, turmas com lista de aniversariantes e equipes de trabalho de porte parecido.

1. Junte trinta listas de vinte e três nomes cada. Anote apenas dia e mês de cada pessoa, ignore o ano, e mantenha cada lista separada da outra numa linha do caderno.

2. Marque um X na linha de toda lista em que duas datas coincidem. Não pare na primeira coincidência de cada lista, porque a pergunta é apenas se existe alguma, e uma já basta.

3. Conte os X no fim. A previsão da conta é algo perto de quinze marcas em trinta listas, e o desvio esperado é pequeno o suficiente para você reconhecer o padrão sem ferramenta estatística nenhuma.

"A probabilidade de que entre n pessoas haja pelo menos duas com o mesmo dia de nascimento ultrapassa um meio já para n igual a vinte e três."

Richard von Mises, Über Aufteilungs und Besetzungswahrscheinlichkeiten, Revista da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1939.

A frase acima é o registro publicado do resultado, escrita no meio de um artigo sobre bolas e caixas. Von Mises não estava tentando surpreender ninguém em festa de aniversário, e a conta dele vale para qualquer coleção de itens sorteados dentro de um número fixo de categorias.

Se travar no raciocínio, mude o sujeito da pergunta. Pergunte quantos pares diferentes de pessoas existem na sala, depois pergunte qual é a chance de um par específico coincidir, e observe o que acontece quando você multiplica uma coisa pela outra.

A Sequência é o placar de quem vira a chave sozinho. Um ponto por enigma fechado antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Um último aviso de jogo limpo. Se a sua explicação também responde a pergunta com data marcada de antemão, aquela em que você quer alguém nascido no seu dia, então ela ainda não é a explicação certa.

Contar pessoas responde a pergunta errada. Contar pares responde a pergunta feita, e a sala pequena deixa de ser surpresa no instante em que você troca uma coisa pela outra.

"Você apostaria contra uma sala de vinte e três desconhecidos?"