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Três pilhas de palitos e um vencedor já decidido
Charles Bouton mostrou em 1901, em Harvard, que somar as pilhas em binário sem vai um entrega o vencedor antes de alguém tocar num palito.
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Três pilhas de palitos sobre a mesa
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Em 1901, um instrutor de matemática de Harvard chamado Charles Leonard Bouton publicou cinco páginas sobre um jogo de mesa de bar. Três montinhos de palitos, dois jogadores e uma regra só: na sua vez você tira quantos palitos quiser, de uma pilha só, no mínimo um. Quem pega o último palito ganha.
O jogo tinha nome antes de ter teoria. Chamavam de Nim, era passatempo de salão e de cassino barato, e a impressão de quem joga pela primeira vez é sempre a mesma: parece um duelo de intuição, com blefe, cara de pau e sorte no fim.
Bouton derrubou a impressão inteira. Ele provou que o Nim tem solução completa, o que significa uma coisa muito mais dura do que uma boa estratégia. Dadas as três pilhas e sabendo quem começa, o vencedor já está definido antes do primeiro palito sair da mesa, desde que o vencedor jogue certo. Não existe surpresa a descobrir, existe uma conta a fazer.
A conta cabe numa margem de guardanapo. Escreva o tamanho de cada pilha em binário, empilhe os três números e some coluna por coluna sem carregar nada para o lado. Se todas as colunas fecharem em número par, quem está prestes a jogar perdeu, e a única dúvida é quantas jogadas o outro vai levar para provar.
Bouton batizou de combinação segura a posição em que as colunas fecham par. A partir dela, qualquer coisa que o adversário faça quebra pelo menos uma coluna, e quem sabe a conta consegue sempre devolver o tabuleiro para o par. O jogo vira uma escada de mão única: um jogador entrega posição segura, o outro estraga, o primeiro conserta, até acabarem os palitos.
Vale reparar no tipo de vitória. Ninguém está lendo o adversário, ninguém está contando quantas vezes ele hesitou. A informação está toda na mesa desde o começo, visível para os dois, e mesmo assim só enxerga quem traduz as pilhas para binário. O segredo estava exposto o tempo inteiro.
Guarde a ideia de escrever o estado do jogo numa notação diferente da que os olhos entregam, porque ela é o eixo do que vem hoje. Antes das pilhas, fica de pé uma tabela de cinco colunas com quinze pistas verdadeiras e dois donos que nenhuma delas nomeia.
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I A resposta de ontem
O norueguês com a água e o japonês com a zebra
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A fila fecha numa ordem só, e ela é esta. Casa um, amarela, norueguês, água, Kools, raposa. Casa dois, azul, ucraniano, chá, Chesterfields, cavalo. Casa três, vermelha, inglês, leite, Old Gold, caracóis. Casa quatro, marfim, espanhol, suco de laranja, Lucky Strike, cachorro. Casa cinco, verde, japonês, café, Parliaments, zebra.
O ponto de entrada é o par de posições absolutas. Norueguês na casa um, leite na casa três. Como a casa azul precisa ser vizinha do norueguês e só a casa dois encosta na primeira, a casa dois fica azul sem nenhuma alternativa.
As cores caem em cascata a partir daí. Verde imediatamente à direita de marfim exige um par de casas coladas, e as únicas coladas que sobram são quatro e cinco, porque a dois já é azul e a um não pode ser verde: se fosse, o café estaria na casa um, e o café não convive com a água que precisará sobrar ali. Marfim na quatro, verde na cinco, vermelha na três com o inglês, amarela na um.
Com o verde na cinco vem o café na cinco, o leite já está na três, e o ucraniano do chá não cabe na um nem na três nem na cinco. Ele fica na dois. Sobra a casa quatro para o suco de laranja, e a bebida do norueguês na casa um passa a ser a única não citada em pista nenhuma.
A água não foi deduzida, foi o resto. Quatro bebidas encontraram dono por pista explícita, e a quinta ficou com a casa que sobrou, do mesmo jeito que a zebra ficou com o único animal e o único morador que ainda não tinham par.
Do lado das marcas, Kools está na casa amarela, que é a um. Lucky Strike acompanha o suco de laranja, na quatro. O japonês fuma Parliaments e não pode estar na um nem na quatro, e como a casa três é do inglês e a dois é do ucraniano, o japonês fica na cinco. Old Gold e Chesterfields se dividem entre as casas dois e três, e quem fuma Old Gold cria caracóis.
Os animais fecham por vizinhança. Kools na casa um precisa ser vizinho do cavalo, e a única vizinha da um é a dois: cavalo na dois. Com o cavalo ocupando a dois, o Old Gold dos caracóis não cabe ali, então Old Gold vai para a três com os caracóis, e Chesterfields fica na dois. Chesterfields é vizinho da raposa, e das casas um e três a três já tem caracóis: raposa na um. O cachorro é do espanhol, na quatro, e a casa cinco recebe o animal que nenhuma pista nomeou.
Repare no formato da solução. Nenhuma pista mencionou água ou zebra, e mesmo assim as duas ficaram determinadas sem sombra de dúvida, porque as regras de não repetição fazem trabalho pesado sozinhas. O que resta depois de todas as eliminações é resposta, não palpite.
O enigma de hoje muda o material e mantém o método. Lá o tabuleiro era uma tabela de cinco colunas. Aqui são três pilhas de palitos, e a coluna que decide o jogo não aparece nos olhos de ninguém antes de ser escrita.
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II O Enigma do dia
Descubra quem ganha antes de tirar o primeiro palito
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Três pilhas de palitos sobre a mesa. Em cada uma mora uma pessoa de uma nacionalidade, que bebe uma bebida, fuma uma marca e cria um animal, sem repetição em nenhuma categoria. Com as quinze pistas abaixo, quem bebe água e quem tem a zebra?
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As regras não escondem nada. Você enxerga as três pilhas inteiras, o adversário também, ninguém tem carta na mão, e não existe sorteio em momento nenhum do jogo.
Duas coisas para fixar antes de começar. Primeira: o jogo é finito e nunca empata, porque a cada jogada some pelo menos um palito e alguém vai pegar o último. Segunda: a vitória se decide na posição que você deixa para o outro, nunca na quantidade que você tira.
Onde quase todo mundo trava
O erro mais comum é tentar equilibrar as pilhas pelo tamanho. A pessoa iguala duas delas, acha que criou simetria, e não percebe que a terceira pilha desmonta a simetria inteira no lance seguinte. Deixar 3, 5 e 5 parece justo e perde.
O segundo erro é jogar grande. Tirar sete palitos de uma vez dá sensação de avanço, some com uma pilha inteira, e entrega ao adversário exatamente o tipo de posição de duas pilhas que ele sabe administrar. Quantidade removida não é medida de progresso.
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A pergunta certa não é quantos palitos tirar, e sim qual paridade deixar. Escreva 3, 5 e 7 em binário, um embaixo do outro, e olhe para as colunas: enquanto alguma coluna fechar em número ímpar, quem está na vez tem uma jogada vencedora escondida ali.
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Repare no que a conta faz com o jogo. Ela transforma três números soltos numa única resposta de sim ou não, e a resposta muda de dono a cada jogada. Quem entende a leitura passa a jogar contra a posição, não contra a pessoa sentada do outro lado da mesa.
A pergunta é essa, e ela pede o caminho, não só o sim ou não. Diga se quem começa vence com 3, 5 e 7, liste todas as primeiras jogadas que garantem a vitória, e explique por que a posição que elas deixam é indefensável para o adversário.
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