I  A resposta de ontem

Três cartas contra o gabarito da ETS

Os três candidatos que derrubaram a questão se chamavam Shivan Kartha, Bruce Taub e Doug Muir. Eram alunos do ensino médio, moravam longe uns dos outros e não se conheciam. Cada um percebeu o erro por conta própria e escreveu à ETS.

A empresa recebia reclamações de gabarito com frequência, e a maioria vinha de candidato insatisfeito com a própria nota. As três cartas traziam outro conteúdo: a conta completa, com o motivo da quarta volta.

O argumento cabe num exercício de mesa. Marque um ponto na borda do círculo pequeno, apontado para fora. Role o círculo um terço do caminho em volta do grande, o trecho em que a borda dele encosta inteira uma vez. O ponto já passou de apontar para fora: o círculo girou uma volta e mais um terço.

A explicação geral olha para o centro, e não para a borda. O centro do círculo pequeno percorre um caminho de raio 4, o raio 3 do grande mais o raio 1 do pequeno. Esse caminho mede 8π.

O círculo pequeno, de borda 2π, gira uma vez a cada 2π que o centro avança. Oito pi dividido por dois pi dá 4. A conta da banca dividia a borda do grande, 6π, pela borda do pequeno, e chegava a 3.

A banca admite

A ETS confirmou o erro e tirou a questão da contagem para todos os candidatos daquela versão. As notas de cerca de 300 mil provas foram recalculadas, e a empresa avisou as universidades que já tinham recebido os resultados.

O caso saiu no New York Times em maio de 1982. Um ano antes, um aluno da Flórida já tinha derrubado uma questão de pirâmides do PSAT, a prova preparatória, e a ETS vinha sendo cobrada pela revisão das próprias perguntas.

A questão do círculo tinha passado por várias rodadas de revisão interna. Ninguém da equipe recortou dois círculos de papel e girou um em volta do outro, o teste de dois minutos que teria mostrado a quarta volta.

O erro sobreviveu porque a resposta errada é coerente. Três vezes a borda, três voltas: a conta fecha, as alternativas oferecem o 3 e nada no enunciado acende alerta.

A quarta volta só aparece para quem muda o ponto de vista. Visto de cima, o círculo pequeno roda pelo contato e roda pela viagem, e as duas rotações vão no mesmo sentido.

Os três candidatos fizeram o que a banca deixou de fazer: desconfiaram de uma conta fácil demais para a pergunta.

II  O Enigma do dia

Duas engrenagens na mesa da cozinha

O arranjo existe de verdade e tem nome: trem epicicloidal, ou engrenagem planetária. A peça fixa no meio é o sol, a que roda em volta é o planeta, e o desenho aparece em câmbio automático de carro, em batedeira e em relógio de pulso.

Com o mesmo tamanho de dente, o número de dentes funciona como o raio. A fixa de 40 dentes tem raio quatro vezes maior que a pequena de 10.

Antes das pistas, as regras:

• A engrenagem fixa não se mexe em momento nenhum.

• A pequena roda sem pular dente e sem escorregar.

• A volta conta em torno do eixo da própria engrenagem pequena, olhando de cima.

A primeira pista: conte quantos dentes da grande a pequena encosta durante a viagem inteira. Cada dente encosta uma vez só.

A segunda pista: divida esse total pelos dentes da pequena. O resultado dá as voltas que o contato produz, e só essas.

A terceira pista: marque um dente da pequena com caneta e veja para onde ele aponta quando a engrenagem chega ao lado oposto da fixa, na metade do caminho.

A quarta pista: o eixo da pequena anda num círculo cujo raio soma os raios das duas engrenagens.

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é parar na segunda pista. A divisão dos dentes dá um número redondo e convincente, e foi esse número que a banca do SAT marcou como certo.

A segunda é achar que a viagem tira voltas. Por fora, a viagem gira no mesmo sentido do rolamento e soma.

A terceira é contar a volta olhando para a engrenagem fixa como referência. A volta se mede contra a mesa, e a mesa não roda.

Responda por escrito: diga o número de voltas e a conta que leva até ele.

III  Sequência

A quinta volta vem da viagem

A engrenagem pequena dá 5 voltas. A conta sai em cinco passos:

1. A pequena encosta os 40 dentes da fixa, um por vez, durante a viagem inteira.

2. Quarenta dentes divididos pelos 10 da pequena dão 4 voltas de contato.

3. Ao completar a viagem em torno da fixa, a pequena também gira uma vez inteira pela própria trajetória.

4. As duas rotações vão no mesmo sentido, então somam: 4 mais 1 dá 5.

5. Pelo centro, a conferência fecha igual: o eixo da pequena anda num círculo de raio 50 (40 mais 10), e 50 dividido por 10 dá 5.

A fórmula geral para um círculo rolando por fora de outro é o raio do grande dividido pelo raio do pequeno, mais um. No SAT de 1982, 3 dividido por 1 dava 3, mais um, 4.

Com duas moedas iguais, a razão vale 1, e a moeda de fora gira duas vezes. É o caso mais curto do paradoxo, e o mais difícil de aceitar sem testar.

A mesma soma aparece longe da mesa. A Terra gira cerca de 366 vezes em relação às estrelas durante um ano, uma a mais que os 365 dias medidos pelo Sol, porque a viagem em volta do Sol soma uma rotação.

Os astrônomos chamam a diferença de dia sideral e dia solar. O dia sideral dura cerca de 23 horas e 56 minutos, quatro minutos a menos que o dia solar.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

“Quantas voltas a engrenagem de 10 dentes daria em volta de uma fixa também de 10?”

Teste hoje: ponha duas moedas de R$ 1 lado a lado na mesa, segure a de baixo com um dedo e role a outra em volta dela, sem escorregar, até a posição inicial. Conte quantas vezes a efígie da moeda que roda fica de pé. O esperado é contar duas, embora quase todo mundo aposte em uma antes de começar.

Segundo a edição, qual foi o número de voltas que a ETS confirmou como resposta correta para a questão do círculo no SAT de maio de 1982, mesmo esse valor não aparecendo entre as cinco alternativas da prova?

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