Sponsored by

ED 033

Sete casas, sete gatos e o número 19.607

No problema 79 do papiro Rhind, o escriba Ahmes empilha cinco níveis de sete e fecha a soma numa linha só, por volta de 1550 a.C.

A coluna do problema 79 do papiro Rhind, com os cinco níveis de sete empilhados até o total.

As sete casas do problema 79 de Ahmes

▼

Por que um enigma sobre sete casas cheias de gatos atravessa três mil anos e volta a circular como cantiga infantil? Porque a estrutura dele não pede conta difícil, pede que você enxergue uma multiplicação em cadeia e a some sem contar item por item. Quem enxerga fecha em dois minutos. Quem tenta listar desiste no terceiro nível.

O documento é conhecido pelo escocês Alexander Henry Rhind, que comprou o rolo em Luxor em 1858, e hoje ele vive no British Museum sob o número 10057. O texto foi copiado pelo escriba Ahmes por volta de 1550 a.C., e ele mesmo avisa na abertura que está reproduzindo um escrito mais antigo, do tempo de Amenemhat III. São mais de oitenta problemas resolvidos, com pão, cerveja, rações e inclinação de pirâmide.

Entre eles está o problema 79, que quebra a linha dos exercícios práticos. Nenhum padeiro precisa daquela conta. O escriba lista casas, gatos, ratos, espigas de trigo e medidas de grão, sete de cada dentro do anterior, e escreve embaixo uma coluna de números terminando num total. O item mais estranho da lista é o próprio total, porque ele aparece calculado por um atalho que a coluna acima não explica.

A mesma armação reaparece muito depois, num livrinho inglês de charadas do século 18, com um viajante que encontra sete esposas, sete sacos, sete gatas e sete gatinhos a caminho de St. Ives. A versão inglesa transforma a conta numa pegadinha de leitura. A versão egípcia mantém a conta de pé e cobra o total.

Aritmética empilhada dessa forma tem nome moderno, progressão geométrica, e um truque de fechamento que cabe numa linha de caderno. O truque não exige fórmula decorada, exige entender por que multiplicar a soma inteira pela razão devolve quase a mesma soma de volta.

Vale montar o mecanismo primeiro num tamanho pequeno, com quatro caixas em vez de sete casas, porque o atalho aparece inteiro em quatro parcelas e a conferência à mão leva menos de um minuto.

Continue lendo ↓

I A resposta de ontem

Quatro caixas e o atalho que fecha a soma numa linha

Quatro caixas, cada uma com quatro sacos, cada saco com quatro potes, cada pote com quatro moedas. Some tudo sem contar moeda por moeda.

A montagem cabe em três linhas. As caixas são quatro. Cada caixa carrega quatro sacos, o que dá dezesseis sacos. Cada saco carrega quatro potes, o que dá sessenta e quatro potes. Cada pote carrega quatro moedas, o que dá duzentas e cinquenta e seis moedas.

A pergunta pede o total de objetos, somando caixas, sacos, potes e moedas. A soma direta é 4 mais 16 mais 64 mais 256, e dá 340. Feita à mão, leva meio minuto. O ponto do exercício não é o resultado, é o caminho curto que dispensa escrever as quatro parcelas.

Chame a soma de S. Multiplique S por quatro, a razão da cadeia. Cada parcela sobe um degrau: o 4 vira 16, o 16 vira 64, o 64 vira 256 e o 256 vira 1024. O resultado é 16 mais 64 mais 256 mais 1024.

Compare as duas colunas. A segunda tem três parcelas idênticas às da primeira, o 16, o 64 e o 256. Subtraia S de 4S e sobram apenas duas parcelas, o 1024 que entrou e o 4 que saiu. Então 3S vale 1020, e S vale 340. Uma multiplicação, uma subtração e uma divisão substituem a lista inteira.

Onde a conta escorrega

O primeiro tropeço é somar níveis errados. Quem lê rápido soma quatro caixas com quatro sacos e para em oito, esquecendo que os sacos são quatro por caixa. Cada degrau multiplica o anterior, nunca se soma a ele.

O segundo tropeço é achar que o atalho depende do número quatro. Ele funciona com qualquer razão maior que um. Com razão sete, a subtração deixa 6S no lado esquerdo, e a divisão final é por seis.

O terceiro tropeço é parar no penúltimo degrau. A cadeia de quatro níveis termina nas moedas, e quem esquece o último nível erra por 256, mais de dois terços do total.

Guarde o formato desse fechamento, porque ele reaparece agora com cinco níveis e razão sete, escrito em hierático numa coluna de papiro por volta de 1550 a.C.

O enigma de agora tem casas em vez de caixas, gatos no lugar dos sacos e uma medida de grão no fim da cadeia, e o total que o escriba anotou passa dos dezenove mil.

II O Enigma do dia

Cinco degraus de sete numa coluna de papiro

O problema 79 do papiro Rhind descreve sete casas. Em cada casa vivem sete gatos. Cada gato caçou sete ratos. Cada rato tinha comido sete espigas de trigo. Cada espiga renderia sete medidas de grão. Três perguntas, e as três pedem prova, não exemplo. Primeira: quantos itens existem em cada um dos cinco níveis? Segunda: qual é o total somando os cinco? Terceira: como fechar essa soma com uma multiplicação e uma subtração, sem escrever as cinco parcelas?

As regras valem reler. Cada nível multiplica o anterior por sete, sempre. A contagem inclui as casas, que formam o primeiro nível. A contagem inclui as medidas de grão, que formam o quinto e último. Nada entra duas vezes e nada fica de fora.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é tratar a lista como quatro níveis. Casas, gatos, ratos e espigas parecem completar a cena, e a medida de grão soa como unidade de medida, não como item contado. Ahmes conta as medidas, e sem elas o total cai para menos de um sexto.

O segundo erro é somar quando deveria multiplicar. Sete casas e sete gatos por casa dão quarenta e nove gatos, nunca catorze. O tamanho do resultado final vem inteiro dessa escolha: cinco multiplicações encadeadas por sete saltam de sete para dezesseis mil e oitocentos e sete no último degrau.

O terceiro erro é confiar no cálculo mental depois do terceiro nível. Sete, quarenta e nove e trezentos e quarenta e três cabem na cabeça. Os dois últimos degraus pedem papel, e é ali que a maioria troca um algarismo e entrega um total quase certo.

Repare que a coluna anotada no papiro traz exatamente cinco números e um total embaixo, sem nenhuma linha de explicação entre eles. Ahmes escreve também uma segunda conta ao lado, com 2801 multiplicado por sete, e chega ao mesmo resultado. Esse 2801 não sai de lugar nenhum óbvio, e explicar de onde ele vem é resolver o enigma inteiro.

Sobra a terceira pergunta, e ela separa o exercício da estrutura. Monte a coluna dos cinco níveis num caderno, some, e depois procure o caminho que produz o mesmo total com uma multiplicação só.

Responda as três com prova. Mostre os cinco valores, apresente o total e deduza o atalho, dizendo por que a multiplicação da soma por sete devolve quase a soma original. Depois teste o que muda se a cadeia tiver seis níveis em vez de cinco.

Quem banca a edição de hoje

Smarter CRM. Less Busywork.

Disconnected data and tools make it harder to understand your customers. HubSpot's Agentic Customer Platform brings your data, teams, and tech stack together with AI built in to help your business work faster and create more personalized customer experiences.

Why HubSpot and what's new

Use AI powered tools to take action faster
Unify your data, teams, and tech stack in one place
Create one shared view of customer data
Connect teams around the same customer context
Bring your business tools into one place

Connect more of your business in one place and give every team a smarter way to work. Get set up quickly and start checking off your hardest tasks.

Get started free

Patrocinadores mantêm a edição gratuita

III Sequência

Some as cinco potências de sete em cinco minutos

O material é um caderno, uma caneta e cinco minutos. O procedimento abaixo produz o total na primeira tentativa, sem tentativa e erro, e termina no número que o escriba anotou embaixo da coluna.

1. Escreva os cinco degraus, um por linha, multiplicando sempre por sete: casas 7, gatos 49, ratos 343, espigas 2401, medidas de grão 16807. Confira cada passagem dobrando e ajustando, porque 343 vezes 7 é 2401 e 2401 vezes 7 é 16807.

2. Some a coluna de baixo para cima. 16807 mais 2401 dá 19208. Mais 343 dá 19551. Mais 49 dá 19600. Mais 7 dá 19607. Esse é o total do problema 79, com os cinco níveis contados.

3. Refaça pelo atalho e compare. Chame a soma de S e multiplique por sete: cada parcela sobe um degrau, e o resultado é 49 mais 343 mais 2401 mais 16807 mais 117649. Subtraia S dos dois lados e sobram só as pontas: 6S vale 117649 menos 7, ou seja 117642. Divida por seis e volta 19607.

4. Encontre o 2801 de Ahmes. Divida 19607 por sete e você recebe 2801. O escriba percebeu que 1 mais 7 mais 49 mais 343 mais 2401 dá 2801, e que multiplicar essa soma menor por sete devolve o total. Ele calculou a cadeia começando do um, e depois deu um único empurrão de sete.

"Cálculo exato. A entrada no conhecimento de todas as coisas que existem e de todos os obscuros segredos."

Ahmes, Papiro Rhind, abertura do rolo, por volta de 1550 a.C., tradução do British Museum.

A escrita hierática do rolo mede pouco mais de cinco metros de comprimento e trinta centímetros de altura, segundo a ficha do British Museum para o objeto 10057. O problema 79 ocupa um trecho pequeno dela e não tem enunciado em forma de pergunta. O escriba apenas empilha os cinco níveis, anota a coluna e fecha no total.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A cadeia de potências vale muito além dos gatos egípcios. Juros compostos, propagação de indicação em rede, duplicação de células e disseminação de um boato seguem a mesma armação, com razões diferentes. Errar o número de degraus custa caro em qualquer uma delas.

Ahmes não estava contando bichos. Ele estava registrando um método de fechamento de soma encadeada, séculos antes de existir notação de expoente, e o registro sobreviveu porque o resultado confere.

"Quantas decisões da sua semana você somou degrau a degrau, quando a cadeia inteira cabia numa multiplicação?"

Teste hoje, em cinco minutos: pegue um valor que cresce por multiplicação na sua vida, uma aplicação com rendimento fixo ou uma indicação que gera novas indicações, escreva os cinco primeiros degraus e some. Depois refaça pelo atalho da multiplicação e subtração. Se os dois números baterem, você acabou de dispensar a calculadora para o resto da cadeia.

Ebook + app · 8 dias

o plano de 8 dias, dentro do app

Em 8 dias, 1 movimento por dia. O ebook ensina, o app cobra.

📖

O ebook ensina: O Protocolo de 4 Tempos pra soltar uma charada e travar a conversa inteira.

📱

O app treina: 1 movimento por dia no celular, marcado e anotado. Atrasou, o plano espera.

Quero o ebook + app →

Quiz da edição

No problema 79 do papiro Rhind, qual número o escriba Ahmes escreve como total da soma dos cinco níveis (casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão)?

Resultado da última edição: 0% acertaram.

Veja o ranking de quem mais acerta →

Sua avaliação

Como foi a edição de hoje?

🧩🧩🧩🧩🧩 ótima 🧩🧩🧩🧩 boa 🧩🧩🧩 ok 🧩🧩 ruim 🧩 péssima

Escolha a próxima edição

Qual edição você quer ver?

1 toque vota. A pauta vencedora vira uma próxima edição.