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O material é uma folha, um lápis e vinte minutos. O procedimento abaixo entrega o quadro completo sem uma única tentativa descartada, e vale para qualquer escola cujo número de alunas seja três a menos que uma potência de dois.
1. Troque os nomes por códigos. Cada menina recebe quatro interruptores, e cada interruptor está ligado ou desligado. São dezesseis combinações, e a combinação com os quatro desligados fica fora da lista. Restam quinze códigos, um por menina, e nenhum nome se repete.
2. Defina a regra da fileira. Três meninas podem andar juntas quando, interruptor por interruptor, o terceiro código é aquele que está ligado exatamente onde os outros dois discordam. Duas ligadas no mesmo ponto, o terceiro desligado ali. Uma ligada e a outra desligada, o terceiro ligado. A regra decide sozinha quem é a terceira de qualquer dupla, e assim nenhuma dupla tem duas terceiras diferentes.
3. Conte as fileiras possíveis. Cada uma das 105 duplas gera uma fileira, e cada fileira é gerada pelas três duplas que ela contém. São 35 fileiras diferentes ao todo, nem uma a mais. Como cada dia usa cinco delas e sete dias usam 35, o quadro consome o estoque inteiro, o que explica por que sete não pode virar seis nem oito.
4. Agrupe as 35 fileiras em sete dias. Um dia é um conjunto de cinco fileiras que não compartilham nenhuma menina. Comece pelo menor código ainda sem fileira no dia, escolha uma parceira livre, deixe a regra do passo dois entregar a terceira, e repita até as quinze estarem colocadas. O último dia sai assim: a fileira de 1, 14 e 15, depois 2, 5 e 7, depois 3, 8 e 11, depois 4, 9 e 13, e por fim 6, 10 e 12.
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"Fifteen young ladies in a school walk out three abreast for seven days in succession: it is required to arrange them daily so that no two shall walk twice abreast."
Thomas Penyngton Kirkman, no enunciado da Query VI, publicada em The Lady's and Gentleman's Diary, de 1850.
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Arthur Cayley publicou uma solução em 1850, e Kirkman publicou a dele logo depois, no mesmo anuário. O quadro tem sete formas essencialmente distintas de ser montado, contagem fechada por Frank Nelson Cole em 1922, no Bulletin of the American Mathematical Society. A generalização ficou aberta até 1971, quando Dwijendra Ray-Chaudhuri e Richard Wilson provaram que o arranjo existe sempre que o número de alunas deixa resto três na divisão por seis.
A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.
O quadro de Kirkman trabalha longe de qualquer internato. Rodízio de mesas em jantar de empresa, chaveamento de torneio e escala de plantão que evita repetir parceria usam a mesma armação. Quem monta essas escalas no olho gasta rodadas que a construção resolve de uma vez.
A dificuldade do passeio das colegiais nunca esteve nas meninas. Estava no rótulo delas: com nome próprio, o problema pede busca; com quatro interruptores, o problema vira uma regra de uma linha que decide sozinha quem anda com quem.
"Quantos rodízios você já montou tentando, quando existia uma regra que montava o quadro inteiro?"
Teste hoje, em dez minutos: pegue nove copos, numere de um a nove e distribua num quadrado de três por três sobre a mesa. Monte os quatro dias pelas linhas, pelas colunas e pelas duas inclinações de diagonal, anotando cada trio numa folha. Depois confira as 36 duplas possíveis marcando cada uma quando aparecer. Você vai terminar com 36 marcas e nenhuma repetida, e é essa mesma conta fechada que sustenta as quinze.
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