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ED 038

Quatro pesos para quarenta cargas

Claude Gaspard Bachet publicou em 1612 a pergunta de quais quatro pesos medem qualquer carga inteira de 1 a 40, e a resposta vive na troca de prato.

Quatro pesos de bronze num prato de balança de dois pratos, ao lado de um saco de grãos.

Quatro pesos de bronze, dois pratos e uma carga

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Por que quatro pesos bastam para medir qualquer carga inteira de 1 a 40 numa balança, quando a intuição pede quarenta pesos diferentes? Bastam porque a balança de dois pratos deixa o peso escolher de que lado fica. Posto no prato vazio, ele soma; posto junto da carga, ele subtrai. Os quatro pesos são de 1, 3, 9 e 27 unidades.

Claude Gaspard Bachet de Méziriac, matemático francês de Bourg-en-Bresse, publicou a pergunta em 1612, no livro Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, uma coleção de problemas numéricos recreativos. Ele não a inventou do nada: a pergunta circulava entre comerciantes que carregavam caixas de pesos de bronze pelas feiras e tinham interesse material em carregar menos peças.

A balança de dois pratos não mostra número nenhum. Ela só responde uma pergunta, se os dois lados estão iguais ou não. Quem mede um saco de grãos vai acrescentando e trocando pesos até os braços ficarem na horizontal, e o valor da carga sai da conta dos pesos usados, com sinal positivo para os que ficaram no prato vazio e negativo para os que desceram ao lado da carga.

A soma dos quatro é exatamente 40. E a faixa coberta também termina em 40, sem nenhum número faltando pelo caminho. Essa coincidência entre a soma dos pesos e o teto da faixa não é acaso de escolha feliz: ela é a assinatura de que nenhuma peça foi desperdiçada e nenhuma medida ficou repetida por dois caminhos diferentes.

O detalhe que o mercador percebeu na prática vale repetir com calma. Um peso guardado na caixa tem três destinos possíveis em cada pesagem, e não dois: prato vazio, prato da carga, ou caixa. Três destinos por peça é o que multiplica o alcance de quatro peças muito além do que uma soma simples entregaria.

Comece pelo caso de três pesos, de 1, 3 e 9, porque ali a lista inteira de cargas possíveis cabe numa coluna e o mecanismo aparece sem nenhuma conta difícil.

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I A resposta de ontem

Treze cargas e uma coluna de contas

Você tem uma balança de dois pratos e três pesos de bronze, de 1, 3 e 9 quilos. Quantas cargas inteiras diferentes dá para medir com exatidão, e qual é a maior delas?

A contabilidade vem primeiro, e ela não precisa da lista. Cada peso aceita três situações: prato oposto à carga, prato da carga ou caixa. Três situações para cada uma das três peças dão 27 arranjos.

Tire os arranjos que não medem nada. Um deles deixa as três peças na caixa, e os pratos ficam vazios dos dois lados. Dos 26 restantes, metade é o espelho da outra metade, porque trocar todos os pesos de prato inverte apenas o sinal do resultado. Sobram 13 cargas possíveis, e a maior é 1 mais 3 mais 9, ou seja, 13.

A coluna fecha a prova sem brecha. Carga 1, o peso 1. Carga 2, o 3 no prato vazio contra o 1 no prato da carga. Carga 3, o peso 3. Carga 4, os pesos 3 e 1. Carga 5, o 9 no prato vazio contra o 3 e o 1 junto da carga. Carga 6, o 9 contra o 3. Carga 7, o 9 e o 1 contra o 3. Carga 8, o 9 contra o 1. As cargas de 9 a 13 repetem o padrão somando o 9 às soluções de 0 a 4.

Treze arranjos úteis e treze cargas medidas, uma para cada arranjo, sem sobra e sem repetição. Quando a contagem de arranjos bate exatamente com a contagem de resultados, o conjunto de pesos está no limite do que pode fazer: cada peça nova triplica a faixa em vez de dobrá-la.

Onde a conta escorrega

O primeiro tropeço é contar dois destinos por peso. Quem esquece que a peça pode descer ao lado da carga calcula 2 elevado a 3, chega a 8 arranjos, e conclui que 7 é o teto. Os números de 8 a 13 ficam invisíveis por causa de uma pergunta mal feita no começo.

O segundo tropeço é buscar o peso de 2 quilos. A carga de 2 aparece na diferença entre o 3 e o 1, e quem insiste em achar a peça exata para cada carga compra uma caixa pesada sem nunca descobrir a subtração.

O terceiro tropeço é contar o espelho como arranjo novo. O 9 contra o 3 mede 6, e o 3 contra o 9 mede 6 também, com a carga no outro prato. Contar as duas versões infla o total para 26 e estraga a prova de que nada se repete.

Guarde o mecanismo, porque ele reaparece maior: três destinos por peça fazem a faixa crescer em potências de três.

II O Enigma do dia

O saco de grãos e as quatro peças de bronze

Um comerciante precisa pesar qualquer saco de grãos de peso inteiro, de 1 até 40 quilos, numa balança de dois pratos. Ele quer carregar o menor número possível de peças de bronze, e aceita pôr peso junto do saco quando ajudar. Três perguntas, e as três pedem prova, não palpite. Primeira: quatro peças bastam, e quais são os valores? Segunda: por que nenhum conjunto de quatro peças cobre 41 quilos nessa balança, qualquer que seja a escolha dos valores? Terceira: se a balança fosse de mola, com os pesos só podendo ir para um prato, de quantas peças ele precisaria para a mesma faixa de 1 a 40?

As regras valem reler. A balança compara e não mede: ela só diz se os dois lados estão iguais. O peso vai para qualquer um dos pratos ou fica na caixa, a carga é sempre inteira, e a resposta pedida é a lista dos valores com a conta do alcance ao lado.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é montar os valores dobrando. A sequência 1, 2, 4, 8 é a resposta correta de outro problema, o da balança que aceita peso em um prato só, e cobre apenas até 15. Quem traz o hábito de dobrar desperdiça o recurso que a balança de dois pratos oferece de graça.

O segundo erro é procurar o teto por tentativa. O limite de 40 sai de uma conta curta: 3 elevado a 4 dá 81 arranjos, menos o arranjo vazio dá 80, e a metade que não é espelho dá 40. O número 41 não cabe porque não existe arranjo sobrando para ele, e nenhuma escolha de valores cria arranjo que a aritmética não permite.

O terceiro erro é tratar a subtração como truque de exceção. Das 40 cargas da faixa, 26 exigem pelo menos uma peça no prato do saco: a subtração é o caso comum, e a pesagem sem ela é a minoria.

A economia mora na pergunta que a balança responde. Um instrumento que aceita três estados por peça rende 3 elevado a 4 arranjos, e um que aceita dois rende 2 elevado a 4. Trocar o instrumento por um que permite o sinal negativo multiplica o alcance por cinco sem acrescentar um grama de bronze na caixa.

Responda as três com prova. Escreva a lista das quatro peças, mostre a conta que fixa o teto em 40 e resolva a faixa de 1 a 40 no caso da balança de um prato só.

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III Sequência

A caixa de bronze e a conta de cabeça

O material é uma folha, um lápis e dez minutos. O procedimento abaixo converte qualquer carga na combinação exata de pesos, sem tentativa jogada fora.

1. Monte a caixa em potências de três: 1, 3, 9, 27, 81. Com quatro peças você cobre de 1 a 40; com cinco, de 1 a 121. A faixa coberta é sempre a soma das peças da caixa.

2. Divida a carga por 3 e guarde o resto. Resto 0, a peça daquela posição fica na caixa. Resto 1, ela vai para o prato vazio. Resto 2, ela desce para o prato da carga e você soma 1 ao quociente antes de continuar. O terceiro caso é a subtração entrando na conta.

3. Repita com o quociente até chegar a zero. Cada rodada resolve a posição seguinte da caixa, e em quatro rodadas qualquer carga de 1 a 40 está decidida. O que você escreveu é o número em ternário balanceado, a escrita em base três na qual cada casa vale 1, 0 ou menos 1.

4. Confira pela soma com sinal. Some os pesos do prato vazio, subtraia os do prato da carga e o resultado tem que ser a carga de partida. Carga 35, por exemplo: 27 e 9 no prato vazio contra o 1 no prato da carga.

"Il est question de trouver le moins de poids qu'il est possible, avec lesquels on puisse peser toutes sortes de poids depuis une livre jusques à quarante."

Claude Gaspard Bachet de Méziriac, no problema 24 dos Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, edição de 1612.

A base três com dígitos negativos foi proposta em 1840 pelo matemático francês Léon Lalanne como notação para calculadoras mecânicas, e o mesmo ternário balanceado rodou na máquina soviética Setun, de 1958, construída na Universidade Estatal de Moscou.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A caixa de quatro peças continua trabalhando longe de qualquer feira: ela aparece no problema de achar a moeda falsa em três pesagens e no circuito que representa sinal negativo sem gastar um bit extra.

A pergunta de Bachet é uma pergunta sobre instrumentos. Quem pede quarenta peças está medindo numa balança que compara dois lados e usando apenas um deles. A peça de 3 quilos no prato do saco rende o mesmo que uma peça de 3 quilos que você não comprou: o alcance extra veio da regra do jogo, não do bronze.

"Quantas vezes você comprou uma peça nova quando bastava usar o outro lado da que já tinha?"

Teste hoje, em dez minutos: pegue quatro objetos de peso conhecido na proporção 1, 3, 9 e 27, por exemplo moedas empilhadas ou pacotes de arroz, e monte uma balança com uma tábua fina apoiada num lápis. Peça a alguém um número inteiro entre 1 e 40 e resolva a carga com as quatro peças, cronometrando. Na primeira você leva perto de dois minutos procurando a combinação; na sexta, com a divisão por 3 na mão, cada uma sai em menos de vinte segundos. A queda no cronômetro é a medida de quando o procedimento substituiu a tentativa.