ED 008

Quatro na ponte com uma lanterna só

Quatro pessoas, uma lanterna, uma ponte que aguenta dois por vez e um portão que fecha em 17 minutos: monte a ordem das travessias.

Quatro pessoas na beira de uma ponte de tábuas no escuro, com uma lanterna acesa.

Quatro na margem e uma lanterna acesa

▼

Em 1623, num tratado em latim sobre a dignidade das ciências, Francis Bacon descreveu um jeito de esconder um recado dentro de outro. Nada de tinta invisível nem de alfabeto secreto: bastava imprimir o texto de fachada com dois tipos de letra quase iguais, um que ele chamou de a e outro de b.

Cada letra do recado escondido virava um grupo de cinco posições, do tipo aaaba ou babaa. Cinco posições com duas escolhas em cada uma dão trinta e dois arranjos diferentes, folga suficiente para as vinte e quatro letras do alfabeto latino da época. Quem lia a página via um bilhete banal; quem sabia comparar os tipos lia outra coisa por baixo.

A frase que Bacon deixou junto do método vale mais que o método. Qualquer coisa pode exprimir qualquer coisa, escreveu ele, desde que a primeira admita apenas duas diferenças. Não é preciso um sinal rico para carregar um recado grande. Bastam duas caras e um número de posições que você saiba contar.

Repare no que a conta faz com a intuição. Cinco letrinhas não parecem capazes de carregar um alfabeto inteiro, e carregam. O motivo é que cada posição nova não soma ao que já existia: ela dobra. Uma posição separa duas coisas, duas separam quatro, três separam oito, e a escada sobe rápido demais para o chute acompanhar.

Quando cada resposta de sim ou não sai cara, a pergunta muda de endereço. Deixa de ser quantas coisas dá para examinar e passa a ser quantas posições independentes dá para montar antes de a leitura começar. O trabalho pesado se concentra na hora de distribuir, e a leitura no fim só confirma o que a distribuição já decidiu.

Antes de pisar em ponte nenhuma, falta fechar a conta da adega: mil garrafas, uma delas contaminada, tiras que só falam depois de 24 horas e uma leitura única. O número de tiras que resolve a noite inteira é bem menor do que quase todo mundo aposta.

Continue lendo ↓

I A Resposta de Ontem

Dez tiras para mil garrafas

Mil garrafas, uma leitura só, e dez tiras de papel dando conta da adega inteira.

Mil garrafas iguais, exatamente uma contaminada, tiras que levam 24 horas para reagir e uma única leitura amanhã de manhã. Dez tiras bastam para as mil, e ainda sobra espaço para mais vinte e quatro garrafas.

A vontade natural é dividir a adega em grupos e ir estreitando o cerco. Estreitar exige rodada nova, e rodada nova custa outro dia inteiro.

Como o relógio proíbe a segunda rodada, o plano precisa caber num gesto só: pingar tudo de uma vez e ler tudo de uma vez.

A virada está em parar de pensar em teste e começar a pensar em nome. Numere as garrafas de 0 a 999 e escreva cada número em binário, com dez casas: a garrafa 0 vira 0000000000 e a garrafa 999 vira 1111100111.

Agora dê uma casa a cada tira. A primeira tira responde pela casa dos 512, a segunda pela dos 256, e a conta desce até a décima, que responde pela casa do 1. Cada garrafa pinga uma gota em toda tira cuja casa aparece com 1 no número dela.

A garrafa 738 tem 1 nas casas 512, 128, 64, 32 e 2, então ela encosta em cinco tiras e ignora as outras cinco. A garrafa 3 encosta em duas. A garrafa 0 não encosta em nenhuma.

Vinte e quatro horas depois, as dez tiras estão na bancada, cada uma com um sim ou um não estampado. Escreva 1 para a que reagiu e 0 para a que ficou limpa, na ordem das casas, e o desenho é o número da garrafa. Nenhuma outra produz aquele mesmo desenho.

As dez tiras não testam dez garrafas. Elas escrevem, em dez casas, o nome de uma entre mil.

Dez é o mínimo porque a leitura só produz tantos desenhos quantas forem as combinações de sim e não. Com nove tiras saem 512 desenhos diferentes, menos do que as mil garrafas, e duas garrafas terminam com a mesma assinatura.

Com dez tiras saem 1.024 desenhos, e a adega inteira cabe com folga.

A escrita de dois algarismos tem endereço antigo. Leibniz publicou a Explication de l'Arithmétique Binaire nas memórias da Academia Real das Ciências de Paris, em 1703, mostrando que zero e um fazem sozinhos o serviço dos dez algarismos.

O princípio que fica é o da pergunta simultânea. Dez perguntas ao mesmo tempo separam mil casos, e as mesmas dez em fila gastariam dez dias para chegar no mesmo lugar.

Guarde a peça que fechou a adega: o preço da noite é o da leitura mais lenta, nunca a soma das tiras. O enigma de hoje troca as garrafas por quatro pessoas na beira de uma ponte, com uma lanterna só para os quatro.

II O Enigma do Dia

O portão que fecha em 17 minutos

Quatro pessoas precisam atravessar uma ponte no escuro. A ponte aguenta no máximo duas por vez, a única lanterna do grupo tem que ir junto em toda travessia, e uma dupla anda no passo do mais lento. Sozinhas, elas levam 1, 2, 5 e 10 minutos. O portão do outro lado fecha em 17 minutos. Em que ordem elas atravessam?

A noite é fechada e as tábuas da ponte têm buraco. Ninguém pisa ali sem a lanterna acesa na mão, nem na ida nem na volta.

A lanterna não voa, não desliza pelo corrimão e não fica pendurada no meio do caminho. Se ela precisa voltar, alguém volta segurando ela.

Quem já atravessou pode atravessar de novo quantas vezes quiser. O relógio começa quando o primeiro pé pisa a ponte e para quando o quarto pé pisa o outro lado.

Cada pessoa anda sempre no próprio passo, e uma dupla anda no passo do mais lento. O de 10 minutos não fica mais rápido acompanhado, e o de 1 minuto não empurra ninguém.

Fora da regra: atravessar a nado, jogar a lanterna, colocar três na ponte, carregar alguém nas costas, esperar o dia clarear e entregar três do lado de lá com um preso do lado de cá.

Onde quase todo mundo trava

A primeira tentativa é eleger um guia. O de 1 minuto leva cada um dos outros e volta sozinho para buscar o próximo, e a volta sai sempre pelo preço mais baixo.

Faça a soma desse plano. Dois minutos com o de 2, um de volta, cinco minutos com o de 5, um de volta, dez minutos com o de 10. Dá 19, e o portão fecha em 17.

A segunda tentativa é mandar o de 10 na frente, para tirar o peso do relógio logo no começo. Ele continua custando 10, e ainda alguém precisa voltar com a lanterna.

A terceira é declarar o problema impossível. O de 10 sozinho já come mais da metade do prazo, e a conta parece não fechar de jeito nenhum.

O relógio não cobra por pessoa, cobra por travessia.

Repare no formato de qualquer plano que funcione. São cinco travessias: três de ida, com duas pessoas cada, e duas de volta, com uma pessoa cada. Menos que cinco não move os quatro, mais que cinco desperdiça viagem.

A palavra que trava a maioria é acompanhar. Acompanhar sugere um guia fixo, e o melhor acompanhante nem sempre é o que anda mais rápido.

Existe uma ordem que fecha os quatro dentro dos 17 minutos, sem apelo e sem regra torcida. Ela não passa pelo plano do guia, e o que ela faz com o de 10 é o que a maioria descarta na primeira leitura.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Quatro pessoas, uma lanterna, uma ponte que aguenta dois e um portão que fecha em 17 minutos.

Quem banca a edição de hoje

O clique de apoio mantém a edição gratuita

III Sequência

Quatro cartas e uma linha na mesa

Pegue quatro cartas de baralho ou quatro pedaços de papel e escreva 1, 2, 5 e 10 neles. Risque uma linha de lápis atravessando um papel: a linha é a ponte. Uma moeda faz o papel da lanterna.

Quem move as cartas fecha antes de quem tenta segurar as quatro travessias de cabeça. A mesa não deixa você esquecer que a lanterna está do lado errado.

1. Escreva a regra do custo antes de mover qualquer carta. Toda vez que a moeda muda de lado, o relógio soma o maior número que viajou com ela. Anote a soma a cada travessia, nunca de cabeça.

2. Rode o plano óbvio primeiro, com a carta 1 escoltando todo mundo, e registre o total. Agora você tem um número para bater e sabe exatamente de quanto precisa cortar.

3. Olhe as travessias mais caras do seu plano e pergunte quem estava junto em cada uma. Se os dois números grandes viajaram em idas separadas, o relógio pagou caro duas vezes por um serviço que talvez caiba numa viagem só.

"Um problema bem formulado está meio resolvido."

John Dewey, Lógica: A Teoria da Investigação, 1938.

Formular aqui é decidir o que o papel registra. Não é a posição das pessoas que pesa na conta, é o lado em que a moeda está e quanto o relógio já marcou.

O caso é pequeno o bastante para varrer no braço. São cinco travessias e poucas escolhas em cada uma, então dá para escrever todos os planos plausíveis e comparar totais em dez minutos de mesa.

Se travar, mude a pergunta. Em vez de perguntar quem leva a lanterna em cada ida, pergunte quantas vezes o número 10 precisa aparecer na conta final.

Feche o palpite por escrito antes de largar o problema, com a ordem completa das cinco travessias e o total em minutos. Palpite que fica só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

A Sequência é o placar de quem vira a chave sozinho. Um ponto por enigma fechado antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

O enigma trabalha melhor solto. Você lê agora, larga, e a ordem certa costuma aparecer no banho ou na fila do mercado.

Um último aviso de jogo limpo. Se o seu plano precisa de duas lanternas, de três pessoas na ponte, de alguém esperando no meio do vão ou de 19 minutos, ele ainda não é o plano.

Quatro pessoas na margem, uma lanterna só, uma ponte que aguenta duas por vez e um portão que fecha em 17 minutos.

A ponte já está descrita pelo enunciado. Falta descobrir quem volta com a lanterna, e quantas vezes.

"Quantas vezes a lanterna precisa voltar?"