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Quatro litros em dois baldes sem marca
Um balde de 5 litros, outro de 3, uma torneira aberta e nenhuma marcação: deixe exatamente 4 litros dentro de um deles.
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Cinco litros, três litros e nenhuma marca
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Em 1215, na campina de Runnymede, o documento que o mundo conhece como Magna Carta reservou uma cláusula para um assunto sem glamour nenhum. A de número 35 manda que haja uma só medida de vinho, uma só de cerveja e uma só de grão em todo o reino, e uma só largura para o pano tingido.
A cláusula não descreve marcação nenhuma. Não manda riscar traço em tonel, não fala de escala e não pede número escrito na lateral de coisa alguma. Ela padroniza o recipiente, e a medida passa a ser o próprio objeto.
A Inglaterra levou a ideia a sério por séculos. Os padrões de capacidade eram vasilhas de bronze, mandadas fazer em 1497 no reinado de Henrique VII e refeitas em 1588 sob Elizabeth I, guardadas a sete chaves e copiadas para as cidades. Conferir uma medida era encher a vasilha certa até a boca.
Grão se mediu assim até bem pouco tempo atrás. O recipiente era uma caixa de madeira de capacidade fixa, e a rasoura, um bastão que passava reto por cima da boca para tirar o excesso. A briga entre comprador e vendedor nunca foi sobre número: era sobre a caixa ser a caixa certa e a rasoura passar reta.
Repare no que um recipiente sem marca sabe fazer. Ele é exato em dois pontos, e só em dois: cheio até a borda e completamente vazio. No meio do caminho ele não sabe de nada, e todo palpite sobre a metade dele é chute com cara de medida.
Dois pontos exatos parecem pouco para uma tarefa que exige quantidade certa. Parecem, até alguém pôr dois recipientes de tamanhos diferentes lado a lado na mesma pia, com a torneira aberta.
Antes de encher balde nenhum, vale fechar um tabuleiro de 62 casas que aceita a divisão exata e mesmo assim não fecha. A saída não está em tentar mais uma arrumação: está em achar o que toda peça carrega junto, caia onde cair.
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I A Resposta de Ontem
As duas casas da mesma cor
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Sessenta e duas casas, trinta e um dominós e uma prova que cabe numa linha.
Um tabuleiro de xadrez de oito por oito, com as duas casas dos cantos opostos serradas fora. Sobram 62 casas, e há 31 dominós na mesa, cada um cobrindo duas casas vizinhas. Cubra tudo, ou prove numa linha que ninguém consegue.
O reflexo é contar casas. Sessenta e duas dividido por dois dá trinta e um, redondo, sem resto e sem sobra. A aritmética libera a tarefa, e a mão descobre em cinco minutos que a tarefa não sai.
Cada tentativa fracassada derruba uma arrumação só. Como o tabuleiro inteiro aceita quase 13 milhões de arrumações diferentes de dominós, tentar é o pior plano disponível: nenhuma mesa de cozinha varre um campo desse tamanho na unha.
Pare de olhar para a arrumação e olhe para a peça. Um dominó, deitado ou em pé, sempre cobre duas casas que dividem um lado inteiro, e duas casas vizinhas nunca têm a mesma cor.
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Todo dominó cobre uma casa clara e uma escura. Nenhuma arrumação escapa da regra.
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Trinta e um dominós cobrem, portanto, trinta e uma casas claras e trinta e uma escuras. Sempre esse par, qualquer que seja o desenho final e qualquer que seja a ordem em que as peças caíram.
Agora o tabuleiro. Sessenta e quatro casas, trinta e duas de cada cor. Os dois cantos opostos da mesma diagonal têm a mesma cor entre si, e serrar os dois tira duas casas da mesma cor de uma vez.
O que sobra são trinta casas de uma cor e trinta e duas da outra. Os dominós pedem trinta e uma de cada, e trinta não é trinta e um. A tarefa fecha aí, sem tentativa nenhuma.
Repare no que a prova aguenta. Ela derruba de uma vez as arrumações que você tentou e as milhões que nunca vai tentar, porque não fala de arrumação em momento algum.
E ela sabe dizer também quando o corte é outro. Tire duas casas de cores diferentes, em qualquer par de posições do tabuleiro, e a cobertura volta a ser possível sempre, resultado atribuído a Ralph Gomory e divulgado em 1973 no livro Mathematical Gems, de Ross Honsberger.
O nome do que a prova usa é invariante: uma quantidade que toda jogada permitida preserva, sem uma única exceção. Se ela vale no ponto de partida e não pode valer no ponto de chegada, o miolo não precisa ser inspecionado.
A pergunta que abre o invariante é curta. O que toda jogada preserva, caia onde cair? Responda, meça a resposta nas duas pontas do problema, e o meio perde a voz.
Guarde a pergunta, porque o enigma que vem agora troca o tabuleiro por dois baldes e uma torneira. De novo a tarefa parece pedir medida fina, e de novo o caminho passa longe da régua.
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II O Enigma do Dia
A torneira e os dois baldes lisos
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Um balde de 5 litros e um balde de 3 litros, sem marcação nenhuma por dentro ou por fora, e uma torneira aberta ao lado. Deixe exatamente 4 litros dentro de um dos dois.
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Os dois baldes são rígidos e a capacidade de cada um é exata: o de 5 comporta cinco litros até a boca, o de 3 comporta três, e os dois começam vazios.
A torneira é o único lugar de onde a água vem, e ela não acaba. Encher um balde até a boca é sempre permitido, e esvaziar um balde no ralo também.
Despejar de um balde no outro é permitido, e o despejo só para em duas situações: quando o balde de origem fica vazio ou quando o balde de destino chega à boca.
Fora da regra: medir no olho, inclinar o balde para achar a metade, marcar a parede com o dedo ou com caneta, usar um terceiro recipiente, pesar a água, beber uma parte e chutar quanto saiu.
Onde quase todo mundo trava
A primeira tentativa é procurar os 4 litros dentro de um dos baldes. Metade do balde de 5 daria dois litros e meio, e um pouco acima da metade é palpite disfarçado de medida. Nenhuma parede confirma coisa alguma.
A segunda tentativa é somar baldes cheios até bater em quatro. Cinco passa, três falta, três mais três passa de novo, e a soma nunca pousa no número pedido.
A terceira é despejar de um lado para o outro na sorte, sem anotar nada. Depois de seis ou sete movimentos ninguém lembra quanto tem em cada balde, e a mesma posição volta a aparecer sem que a pessoa perceba.
O campo aqui é pequeno, ao contrário do tabuleiro. O balde grande só pode conter zero, um, dois, três, quatro ou cinco litros, e o pequeno só pode conter zero, um, dois ou três, o que fecha um mapa de 24 posições. Cabe num guardanapo.
Cada balde sabe duas quantidades e nenhuma a mais: cheio até a boca e completamente vazio.
O aperto mudou de natureza. Não falta água, não falta espaço e não faltam movimentos: falta um jeito de fabricar uma quantidade que nenhum dos dois baldes exibe sozinho.
Quem trava fica preso na palavra medir. Medir pede escala, e escala é justamente o que a torneira e os dois baldes não têm. A tarefa não pede leitura de nível: pede uma sequência de movimentos exatos.
Existe uma sequência curta que deixa os 4 litros parados num dos baldes, com menos movimentos do que se imagina, e ela não usa marcação, estimativa nem recipiente extra.
O enunciado está inteiro aqui em cima. Dois baldes, um de 5 e um de 3, uma torneira aberta, um ralo por perto, e nenhuma marca em lugar nenhum.
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