I  A resposta de ontem

Noventa e duas posições e a ordem de varredura que fecha a lista

São noventa e duas as posições em que oito rainhas ocupam um tabuleiro de oito por oito sem que nenhuma ataque outra, contando como distintos os arranjos que giram e espelham uns nos outros. Ignorando giro e reflexão, sobram doze soluções realmente diferentes, e cada uma delas gera até oito cópias pelas simetrias do tabuleiro.

Um arranjo concreto para conferir com o lápis é 15863724. Leia como uma rainha por coluna: a da primeira coluna na linha 1, a da segunda na linha 5, a da terceira na linha 8, e assim até a oitava coluna na linha 4. Nenhum par repete linha, nenhum par repete coluna e nenhum par tem diferença de linhas igual à diferença de colunas.

A parte fácil termina aqui. Achar uma posição válida é trabalho de cinco minutos, e a pergunta principal era outra: garantir que a lista fechou, sem repetir e sem pular nenhuma.

Os três cortes fazem o serviço na ordem certa. Uma rainha por coluna troca bilhões de escolhas de casas por dezesseis milhões e setecentas e setenta e sete mil sequências. A exigência de linhas distintas derruba para quarenta mil trezentas e vinte permutações. A checagem de diagonais coluna a coluna, abandonando o ramo na primeira colisão, devolve as noventa e duas.

O detalhe que fecha a prova está no abandono de ramo. Quando a rainha da coluna 4 colide com alguma das três já postas, todo o resto daquele ramo cai junto, e milhares de sequências deixam de precisar de teste sem que uma solução válida se perca. A busca termina quando a primeira coluna esgota os oito valores, e é esse esgotamento que autoriza dizer que a lista acabou.

Contar não é achar. Achar exige sorte e paciência, contar exige uma ordem de visita que nunca repete e nunca pula, e é por falta dessa ordem que a primeira passada de qualquer pessoa fica abaixo do total.

Uma conferência barata confirma o método antes do tabuleiro grande. No quadrado de quatro por quatro existem duas soluções, no de cinco por cinco existem dez e no de seis por seis existem quatro, e quem aplica os três cortes no de seis por seis fecha a lista em vinte minutos de lápis.

O enigma de hoje inverte a exigência. No tabuleiro o trabalho era esgotar um espaço enorme de possibilidades. Nas cartas o espaço tem quatro objetos apenas, e a dificuldade toda mora em decidir qual deles carrega informação.

II  O Enigma do dia

Quatro cartas na mesa e uma regra que pede refutação

As condições não escondem nada. As quatro cartas são as únicas em jogo, cada uma tem uma letra e um número, e você enxerga uma face de cada. Virar carta custa, então o pedido é o conjunto mínimo: nem uma a menos, nem uma a mais.

Duas coisas para fixar antes de decidir. Primeira: a regra fala de vogal para número par numa direção só, e não afirma nada sobre o que acompanha uma consoante. Segunda: a pergunta não pede as cartas que confirmam a regra, pede as que poderiam pegá-la em falta.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é virar a carta do 4. A tentação é forte porque a carta parece do time da regra: se atrás houver vogal, a regra ganha um caso a favor. Só que ela sobrevive intacta seja qual for a letra escondida ali, porque nunca proibiu consoante com número par, e um teste que não pode dar errado não é teste.

O segundo erro é virar a carta do K. Ela ativa a leitura invertida da frase, como se a regra também dissesse que consoante pede número ímpar, e o que estiver do outro lado do K não muda nada no julgamento.

O terceiro erro é o mais comum de todos: deixar o 7 parado. A carta do número ímpar é a única que pode virar e mostrar uma vogal, e uma vogal atrás de um número ímpar é exatamente o caso que a regra proíbe. Ela não confirma nada em hipótese alguma, e por não confirmar é a mais valiosa da mesa.

Repare no que a estrutura da frase faz com cada carta. A vogal visível é uma promessa em aberto, então precisa ser conferida. O número par visível não pode gerar violação alguma. A consoante visível está fora do alcance da regra. O número ímpar visível é o único lugar onde a proibição pode aparecer inteira.

A pergunta é essa, e ela pede o critério junto com a resposta. Diga quais cartas virar, quantas são ao todo, e justifique carta por carta com uma frase dizendo qual violação cada uma pode revelar e por que as descartadas não podem revelar nenhuma.

III  Sequência

Uma coluna por carta e o teste que pode dar errado

O material é uma folha, um lápis e uma tabela de quatro linhas. Escreva as quatro cartas numa coluna, E, K, 4 e 7, e abra três colunas ao lado: o que pode estar do outro lado, se algum desses valores quebra a regra e a decisão de virar ou não.

A tabela faz metade do serviço porque força a pergunta certa em cada linha: existe algum valor escondido capaz de derrubar a regra? Onde a resposta é não, a carta fica na mesa.

1. Escreva a regra em duas partes. Chame de condição a face vogal e de exigência a face par. A regra proíbe uma única combinação no mundo inteiro: vogal acompanhada de número ímpar. Nenhuma outra dupla viola coisa alguma, e a lista de proibições termina aí.

2. Teste carta por carta com um valor extremo. Para o E, imagine 7 do outro lado: viola, então vire. Para o K, imagine 4 e depois 7: nenhum dos dois viola, então deixe. Para o 4, imagine E e depois K: nenhum viola, então deixe. Para o 7, imagine E: viola, então vire.

3. Confira o conjunto pelo mínimo. Duas cartas ficam, E e 7. Tire qualquer uma das duas e existe uma violação possível que passa sem ser vista. Acrescente qualquer uma das outras duas e você paga por uma virada que não pode mudar a conclusão.

A frase acima nomeia o defeito e deixa o remédio de fora, e repare no tamanho do silêncio. Ela não diz como reconhecer uma pergunta que só aceita respostas favoráveis, não diz onde procurar o caso que incomoda e não diz quantos casos bastam. O silêncio é justamente onde a sua tabela entra.

Se travar, vista a mesma regra de norma de bar antes de brigar com as letras: cartas dizendo cerveja, refrigerante, vinte e dois anos e dezesseis anos. Depois volte para E, K, 4 e 7 e verifique que o refrigerante ocupa o lugar do K, e o menor de idade ocupa o lugar do 7.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Um aviso de jogo limpo. Achar a resposta pronta na internet não vale ponto: o que conta é preencher a tabela com a própria mão e escrever, ao lado de cada carta descartada, por que ela não revela violação nenhuma.

O tabuleiro pune quem confia na primeira tentativa que dá certo, e as cartas punem quem procura só o que concorda. Um pede a prova de que não sobrou nada, o outro pede o teste com chance real de sair errado.

"Qual pergunta você anda fazendo só porque já sabe que a resposta vai concordar com você?"

O Silêncio na Mesa

O Protocolo de 4 Tempos pra soltar uma charada e travar a conversa inteira.

No experimento de Wason com as cartas E, K, 4 e 7, qual é o conjunto de cartas que precisa ser virado para testar de verdade a regra sobre vogal e número par?

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