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ED 070

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Peças ruins primeiro derrubaram o Eternity de 209 peças

Em 1999, Christopher Monckton prometeu um milhão de libras por um tabuleiro de 209 peças. Dois matemáticos de Cambridge fecharam em 2000.

Tabuleiro em forma de dodecágono coberto por peças de plástico encaixadas.

209 peças sem figura na tampa

▼

Quanto tempo leva para montar um quebra-cabeça de 209 peças sem figura na tampa? O inventor do Eternity apostou em anos, e dois matemáticos de Cambridge fecharam o tabuleiro em menos de doze meses.

O desafio chegou às lojas britânicas em junho de 1999. Cada peça de plástico era um polígono irregular feito de 12 triângulos iguais, todos com ângulos de 30, 60 e 90 graus, e o tabuleiro tinha a forma de um dodecágono (polígono de doze lados) quase regular. Nenhuma peça trazia desenho: a única pista era o contorno.

O criador, o aristocrata britânico Christopher Monckton, prometeu um milhão de libras a quem cobrisse o tabuleiro inteiro sem deixar buraco. O prêmio virou manchete nos jornais do país, e a caixa entrou na lista de presentes daquele Natal.

Monckton contava com a explosão de combinações. Com 209 peças, cada uma podendo entrar em muitas posições e girar de vários jeitos, uma busca às cegas não termina em nenhum computador doméstico. Ele imaginava uma saída escondida, a que tinha montado e guardado em segredo.

O erro estava na premissa. Quanto maior o tabuleiro, mais arranjos diferentes cabem nele, e o Eternity tinha saídas de sobra. Faltava achar uma, e o atalho veio da ordem em que as peças entram.

As peças com recortes estranhos, que deixam vãos impossíveis de preencher, precisam ir cedo para o tabuleiro, enquanto há área livre para absorver o estrago. As bem comportadas ficam para o final, quando sobram cantos apertados e só elas se ajustam.

Parece detalhe de montagem, e decidiu um milhão de libras. A mesma lógica de olhar para a forma das peças antes de mexer nelas resolve o enigma de hoje, só que no sentido contrário: lá, a forma indicou como fechar; aqui, ela prova que um tabuleiro jamais fecha.

Logo abaixo, a história dos dois matemáticos e do cheque de Monckton; depois, um enigma de encaixe para lápis e papel, e a solução que sai da cor das casas.

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I A resposta de ontem

Um milhão de libras sobre a mesa

Os dois matemáticos eram Alex Selby e Oliver Riordan, ambos formados em Cambridge, na Inglaterra. Riordan pesquisava combinatória (o ramo da matemática que conta arranjos possíveis), e Selby escrevia programas de busca.

A dupla começou por tabuleiros menores. Montaram no computador regiões com poucas dezenas de peças e anotaram quais apareciam com frequência nas soluções e quais travavam a busca. Dali saiu uma lista: num extremo, as peças fáceis de encaixar; no outro, as que deixavam pontas e reentrâncias sem par.

Com a lista pronta, o programa passou a preencher o dodecágono pelas peças ruins. Cada uma entrava enquanto havia muita área livre para absorver o recorte dela. As fáceis ficavam guardadas para a última região, onde a flexibilidade delas valia mais.

Todas as peças tinham a mesma área, 12 triângulos, e o tabuleiro somava 209 vezes 12, ou 2.508 triângulos. A área batia por construção; a dificuldade inteira estava nos contornos, e a lista atacava justamente os contornos.

Selby e Riordan também estimaram quantas soluções o tabuleiro inteiro admitia. O cálculo deles, publicado no relato que a dupla escreveu em 2000, chegou a um número com dezenas de algarismos: o Eternity estava longe de ter uma saída só.

Em 15 de maio de 2000, o programa fechou o tabuleiro. A organização só abriria os envios para conferência em 30 de setembro de 2000, e a vitória da dupla saiu nos jornais em outubro.

A solução de Selby e Riordan não coincidia com a de Monckton. Nenhuma peça precisava ocupar o lugar que o inventor tinha escolhido: bastava cobrir o dodecágono inteiro, sem buraco e sem sobreposição.

Monckton guardou uma solução; o tabuleiro aceitava muitas outras, e o prêmio foi para a primeira que apareceu.

O cheque e a história da casa

Monckton pagou o milhão de libras. Na época, contou a jornais britânicos que tinha vendido a própria casa para cobrir o prêmio, e o relato correu o mundo como prova de que o inventor tinha perdido a aposta.

Em 2006, ele admitiu que a história da casa era uma jogada de divulgação para vender mais caixas. O imóvel foi vendido, mas a venda não tinha ligação com o cheque.

O Eternity deixou uma lição para quem desenha desafios desse tipo. Um quebra-cabeça com peças demais ganha soluções demais, e cada solução extra encurta o caminho de quem procura. Um tabuleiro realmente difícil precisa de poucas saídas, e Monckton tinha calculado ao contrário.

II O Enigma do dia

Dominós num tabuleiro sem dois cantos

Um tabuleiro de xadrez de 8 por 8 perde duas casas: o canto de baixo à esquerda e o canto de cima à direita. Sobram 62 casas. Você tem 31 dominós, e cada dominó cobre exatamente duas casas vizinhas, na horizontal ou na vertical. Dá para cobrir as 62 casas sem sobrepor e sem deixar buraco?

O enigma vem da mesma família do Eternity: cobrir uma região inteira com peças, sem vão. O formato clássico aparece no livro Puzzle-Math, dos físicos George Gamow e Marvin Stern, publicado em 1958, e virou um dos testes favoritos de professores de lógica.

Antes das pistas, as regras do jogo:

• Cada dominó ocupa duas casas que dividem um lado.

• Nenhum dominó sai do tabuleiro nem cobre as casas removidas.

• Dois dominós nunca ocupam a mesma casa.

Desenhe o tabuleiro a lápis, com as casas alternadas em claro e escuro, e marque com X os dois cantos retirados.

A primeira pista: conte antes de tentar. As 62 casas formam um número par, e 31 dominós cobrem 62 casas. A soma fecha, e a soma sozinha não decide nada.

A segunda pista: olhe as cores. Num tabuleiro de xadrez, duas casas vizinhas têm sempre cores diferentes.

A terceira pista: veja de que cor são os dois cantos removidos. Cantos opostos pela diagonal de um tabuleiro 8 por 8 estão sobre a mesma diagonal, e a diagonal tem uma cor só.

A quarta pista: pergunte o que um dominó cobre, em cores, onde quer que seja colocado.

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é tentar no papel, encaixe por encaixe. As tentativas são tantas que uma falha não prova nada: talvez a próxima arrumação dê certo.

A segunda é confiar só na área. O número de casas bate, e quem resolve conclui que a cobertura existe.

A terceira é mudar o problema: deitar um dominó em diagonal ou quebrá-lo em dois. A regra só aceita casas que dividem um lado.

Uma prova de impossibilidade dispensa tentativas: basta achar uma propriedade que nenhuma peça consegue alterar.

Responda por escrito: a cobertura existe? Se não existe, escreva o motivo numa frase.

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III Sequência

A cor das casas trava o encaixe

A cobertura não existe. O tabuleiro de 8 por 8 tem 32 casas claras e 32 escuras, e os dois cantos removidos são da mesma cor. Sobram 30 de uma cor e 32 da outra.

O raciocínio em cinco passos:

1. Pinte o tabuleiro como xadrez: casas vizinhas têm cores opostas.

2. Todo dominó cobre duas casas vizinhas, portanto uma clara e uma escura.

3. Então 31 dominós cobrem 31 claras e 31 escuras, sejam quais forem as posições.

4. Os cantos removidos são escuros no tabuleiro tradicional, e restam 32 claras e 30 escuras.

5. Faltam casas escuras para 31 dominós: a cobertura é impossível.

O argumento usa um invariante (uma quantidade que nenhuma jogada altera). Cada dominó colocado soma uma clara e uma escura ao total coberto, e a diferença entre as duas cores cobertas fica sempre em zero. O tabuleiro mutilado exige diferença de dois, e nenhuma arrumação chega lá.

Selby e Riordan trabalharam no sentido oposto. A cor das casas prova que um tabuleiro não fecha; a lista de peças fáceis e difíceis mostrou como fechar um tabuleiro com saídas de sobra.

O enigma também tem um par feliz. O matemático americano Ralph Gomory provou que, se as duas casas retiradas forem de cores diferentes, a cobertura sempre existe. A prova traça um caminho fechado que passa por todas as 64 casas: o corte em dois pontos de cores opostas deixa dois trechos de tamanho par, e cada trecho se cobre em fila.

O caminho de Gomory serpenteia pelo tabuleiro, linha por linha, e volta ao ponto de partida. Ao longo dele, as cores se alternam casa a casa, e por essa alternância cada trecho entre os dois cortes termina com um número par de casas.

Duas casas da mesma cor a menos bastam para travar 31 dominós, por mais espaço que o tabuleiro pareça ter.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

“Num tabuleiro de 6 por 6 sem dois cantos opostos, quantas casas sobram de cada cor?”

Teste hoje: desenhe um tabuleiro de 4 por 4, risque dois cantos opostos e tente cobrir as 14 casas com sete dominós. Antes de começar, conte as casas de cada cor; o esperado são oito de uma cor e seis da outra, e nenhuma arrumação fecha em cinco minutos de tentativa. Monckton repetiu a aposta em 2007 com o Eternity II, de 256 peças.

Fica a pergunta · até amanhã

Que fim levou o prêmio de US$ 2 milhões do Eternity II?

★ RARO

🔒

EDIÇÃO SELADA

Quem leu até aqui tem mais um achado desta edição atrás do lacre.

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