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Os únicos 2 dados que imitam o par comum com outros números
Faces 1, 2, 2, 3, 3, 4 num dado e 1, 3, 4, 5, 6, 8 no outro: as mesmas chances em cada soma, de 2 a 12.
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Dois dados estranhos, a mesma soma
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Dá pra trocar os números de um par de dados e manter as mesmas chances em cada soma? Dá, e só existe um jeito de fazer a troca com números inteiros positivos.
Pegue dois dados comuns e liste tudo que pode sair. São 6 faces num, 6 no outro, 36 combinações ao todo. A soma 2 aparece numa só, o duplo 1. A soma 12 também, o duplo 6.
A soma 7 é a campeã. Sai de 6 maneiras: 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1. Por esse caminho a conta fica fácil de guardar: as chances sobem de uma em uma do 2 até o 7 e descem na mesma escada até o 12.
Quem joga Banco Imobiliário ou War sente essa escada sem fazer conta. A casa que fica 7 passos à frente recebe visita com frequência, e a que fica a 12 passos quase nunca.
Agora imagine um dado com as faces 1, 2, 2, 3, 3, 4. Ele tem o 2 repetido, o 3 repetido, e nenhum número passa de 4. Parece um dado defeituoso, feito para perder.
Junte a ele um segundo dado com as faces 1, 3, 4, 5, 6, 8. Falta o 2, sobra um 8. Jogue os dois juntos e anote as somas.
A soma 2 sai de um jeito. A soma 7, de 6. A soma 12, de um. Cada total de 2 a 12 aparece exatamente com a frequência do par comum. Um jogador de tabuleiro não perceberia a troca nem em mil rodadas, desde que não olhasse para as faces.
O par estranho tem dono, data e uma prova de que não há terceira opção. Ele foi achado por um leitor de revista que escreveu para o colunista de matemática mais famoso dos Estados Unidos.
A seguir: quem achou o par, onde ele saiu publicado e por que a busca termina nele.
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I A resposta de ontem
O leitor de Buffalo e a coluna de Gardner
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George Sicherman, programador e entusiasta de quebra-cabeças de Buffalo, no estado de Nova York, montou o par de dados nos últimos anos da década de 1970 e mandou a descoberta para Martin Gardner.
Gardner assinava a coluna Mathematical Games (Jogos Matemáticos) na revista Scientific American desde 1957. Era o lugar onde leitores, professores e matemáticos de carreira trocavam charadas, e muita ideia nova estreava ali antes de virar artigo acadêmico.
Na edição de fevereiro de 1978, Gardner publicou o achado e deu o crédito a Sicherman. A partir dali, o par 1, 2, 2, 3, 3, 4 e 1, 3, 4, 5, 6, 8 ganhou o apelido de dados de Sicherman.
A pergunta que Sicherman respondeu era simples de enunciar: existe outro par de dados de seis faces, só com números inteiros positivos, que dá as mesmas chances de soma que o par comum? A resposta tem duas partes. Existe, e é um só.
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Com faces inteiras e positivas, só dois pares de dados de seis faces produzem a distribuição de somas de 2 a 12: o comum e o de Sicherman.
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Como se prova que não há outro
A prova usa uma função geradora (um polinômio em que cada face do dado vira uma potência de x). O dado comum vira x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶. Multiplicar os polinômios de dois dados soma os expoentes, e o coeficiente de cada potência conta quantas combinações dão aquela soma.
O polinômio do dado comum se quebra em quatro fatores que não se dividem mais: x, (1 + x), (1 + x + x²) e (1 − x + x²). Os dois dados juntos têm cada fator duas vezes. Achar outro par é redistribuir esses oito pedaços em dois grupos.
As regras cortam quase tudo. Cada dado precisa de um x, para não ter face zero. Cada dado precisa de um (1 + x) e de um (1 + x + x²), para ter exatamente 6 faces. Sobram só os dois fatores (1 − x + x²), e eles podem ficar um em cada dado, o par comum, ou os dois no mesmo dado, o par de Sicherman.
A busca termina em dois. A fatoração deixa só essas duas portas abertas, e nenhum computador precisa testar milhões de combinações para confirmar. Qualquer par que alguém inventar e que funcione vai cair numa delas.
Em 1979, Joseph Gallian e David Rusin publicaram na revista Discrete Mathematics o artigo Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice (Polinômios ciclotômicos e dados não padronizados), que estende a mesma conta a dados com qualquer número de faces.
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II O Enigma do dia
Seis jeitos de tirar 7
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No par de Sicherman, de quantas maneiras sai a soma 7, e de quantas sai a soma 5? Pergunta extra: monte um par de dados de 4 faces, só com inteiros positivos e sem usar 1, 2, 3, 4 nos dois, que dê as mesmas chances de soma que dois dados comuns de 4 faces.
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Dá pra resolver com papel e lápis. A primeira parte pede uma tabela pequena; a segunda pede o truque dos fatores que apareceu na seção anterior.
A primeira pista vale para as somas. Escreva as faces do dado A (1, 2, 2, 3, 3, 4) numa coluna. Para cada uma, procure no dado B (1, 3, 4, 5, 6, 8) a face que completa o total desejado. Conte cada face repetida como uma combinação separada.
A segunda pista vale para a conferência. No par comum, a soma 7 sai de 6 maneiras e a soma 5 sai de 4. Se a sua tabela der outro número, um 2 ou um 3 repetido ficou de fora.
A terceira pista vale para a pergunta extra. O dado comum de 4 faces vira x + x² + x³ + x⁴, que se quebra em x, (1 + x) e (1 + x²). O pedaço que pode mudar de lado é o (1 + x²).
A quarta pista: um dado com x(1 + x)² tem faces 1, 2, 2, 3. Falta descobrir o parceiro.
Onde a conta tropeça
A primeira armadilha é contar o 2 repetido como uma face só. No dado A, o 2 aparece duas vezes, então a combinação 2 e 5 vale por duas.
A segunda é esquecer que o dado B não tem o 2. Quem procura 5 com o par 3 e 2 trava, porque o B pula do 1 para o 3.
A terceira é deixar um dado sem o fator x. Sem ele, aparece uma face zero, e as regras pedem só inteiros positivos.
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A soma confere quando o total de combinações de cada número bate com o par comum: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
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Responda por escrito: as maneiras de tirar 7, as de tirar 5 e as faces do par de 4 lados.
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