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Os ponteiros que se cruzam onze vezes, não doze
Em doze horas de mostrador os ponteiros se sobrepõem onze vezes, e o encontro que falta some entre as 11h e as 13h.
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Onze encontros em doze horas de mostrador
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Quantas vezes por dia os ponteiros de um relógio se encontram? Vinte e duas, e não vinte e quatro, mesmo que o relógio atravesse vinte e quatro horas cheias.
Faça a conta ingênua primeiro. Uma hora de mostrador, um encontro. Meio-dia, uma e pouco, duas e dez, três e quinze, e assim por diante. Doze horas no mostrador, doze encontros. A cabeça fecha a soma sem desconfiar e parte pra outra.
O mostrador desmente. Às onze horas o ponteiro das horas já está quase em cima do doze, e o dos minutos precisa dar a volta inteira pra alcançá-lo. Quando alcança, já é meio-dia. O encontro que deveria acontecer nas onze e pouco não existe: ele cai exatamente no doze, e o doze já foi contado como encontro da hora seguinte.
Sobram onze encontros em doze horas. Distribuídos por igual, um a cada 65 minutos e 5/11, o que dá 65 minutos, 27 segundos e uma fração que nunca fecha em número redondo. Dividir 720 minutos por 11 não dá conta exata, e por causa dela nenhum encontro, fora o meio-dia e a meia-noite, cai num minuto cheio.
Olhe para um relógio de parede às treze e cinco. Os ponteiros parecem colados. Não estão: o encontro real acontece às 13h05min27s, e nos 27 segundos anteriores o ponteiro dos minutos ainda vem correndo atrás.
O erro de quem chuta doze tem forma conhecida. Chama-se erro da cerca: quem conta mourões e vãos no mesmo pacote soma um a mais. Aqui os encontros são os mourões, e a volta das doze horas termina no mesmo poste em que começou.
A prova de que são onze não depende de desenhar o mostrador hora por hora. Ela sai de duas velocidades e uma subtração, e a seção seguinte mostra a conta passo a passo.
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I A resposta de ontem
Duas velocidades e uma subtração
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O relógio de ponteiros como o conhecemos nasceu com Christiaan Huygens, o físico holandês que construiu o primeiro relógio de pêndulo em 1656 e tornou o ponteiro dos minutos confiável o bastante pra valer a pena olhar pra ele. Antes do pêndulo, a maioria dos relógios de torre trazia um ponteiro só, porque o erro diário tornava inútil marcar minutos.
A conta começa pelas velocidades. O ponteiro dos minutos dá uma volta de 360 graus em 60 minutos: 6 graus por minuto. O das horas dá a volta completa em 12 horas, ou 720 minutos: meio grau por minuto.
Os dois correm no mesmo sentido, então interessa a diferença. A cada minuto o ponteiro dos minutos ganha 5,5 graus sobre o das horas. Um encontro acontece toda vez que essa vantagem acumulada completa uma volta inteira, 360 graus.
Divida 360 por 5,5 e sai 720/11 minutos, ou 65 minutos e 5/11. Em 720 minutos de mostrador cabem exatamente onze intervalos desse tamanho. A conta dispensa o relógio desenhado.
O mesmo raciocínio explica por que os intervalos são todos iguais. A perseguição não acelera nem freia: os dois ponteiros giram com velocidade constante, então a vantagem cresce em linha reta e cada volta completa gasta o mesmo tempo. Um relógio que mostrasse encontros em intervalos desiguais estaria quebrado.
Os ponteiros se encontram onze vezes em doze horas e 22 vezes num dia, sempre separados por 65 minutos e 5/11. A diferença de velocidade, 5,5 graus por minuto, decide a contagem inteira.
Por que o encontro das onze some
Liste os horários e o buraco aparece sozinho. Somando 65 minutos e 5/11 desde o meio-dia: 13h05min27s, 14h10min54s, 15h16min22s, 16h21min49s, 17h27min16s, 18h32min44s, 19h38min11s, 20h43min38s, 21h49min05s, 22h54min33s. O passo seguinte cai em 24h00, a meia-noite.
O intervalo das 11h às 13h tem 120 minutos, quase dois intervalos de encontro, e guarda um encontro só. Às 11h o ponteiro das horas está 30 graus antes do doze, e o dos minutos precisa percorrer 330 graus de vantagem pra alcançá-lo. A 5,5 graus por minuto, a perseguição leva 60 minutos cravados e termina no meio-dia.
Quem conta doze encontros está contando, sem perceber, o meio-dia duas vezes: uma como encontro das 11 e outra como encontro das 12. O mostrador tem doze números, mas a perseguição tem onze voltas. De madrugada o buraco se repete: entre 23h e 1h, só a meia-noite.
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II O Enigma do dia
Retas, esquadros e o encontro das três
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Três perguntas, com resposta em número e em horário. Primeira: em doze horas, quantas vezes os ponteiros ficam em linha reta, apontando pra lados opostos do mostrador? Segunda: num dia de 24 horas, quantas vezes eles formam ângulo reto, 90 graus exatos? Terceira: depois das 15h, a que horário exato, até o segundo, o ponteiro dos minutos alcança o das horas?
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As regras seguem as da conta de hoje. Relógio analógico comum, ponteiros que andam sem saltos, e o ponteiro dos segundos fica fora. A resposta pedida é o número com o raciocínio que chega nele, porque acertar no chute só vale ponto se a justificativa vier escrita.
Uma pista pra primeira pergunta: comece pelas 6h, quando os ponteiros já estão em linha reta, e confira se o padrão de encontros se repete com a mesma folga. Pra segunda, desenhe um único ângulo reto e pergunte quantas vezes a perseguição passa por ele numa volta relativa. Pra terceira, anote onde cada ponteiro está às 15h00 em graus, contando desde o doze no sentido horário.
Onde quase todo mundo trava
O primeiro erro é tratar a linha reta como caso diferente do encontro. Oposição e sobreposição obedecem à mesma perseguição: muda só a vantagem que o ponteiro dos minutos precisa acumular, 180 graus em vez de zero.
O segundo erro é multiplicar sem pensar. Há duas posições de 90 graus a cada volta relativa, uma com o ponteiro dos minutos adiantado e outra com ele atrasado, e quem multiplica dois por 24 esquece que as voltas relativas num dia não são 24.
O terceiro erro é responder 15h15. Às 15h15 o ponteiro dos minutos aponta pro três, mas o das horas já andou 7,5 graus além do três. O encontro chega um pouco depois, e o segundo exato sai de uma fração com denominador 11.
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O mostrador marca doze horas, mas os ponteiros não vivem em horas: vivem numa perseguição com velocidade fixa de 5,5 graus por minuto. Toda pergunta sobre o ângulo entre eles vira uma divisão por 5,5.
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Responda as três por escrito, com horário ou número. As linhas retas em doze horas, os ângulos retos em 24 horas e o horário exato do encontro depois das 15h.
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