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ED 032

Os dois "não sei" que derrubam sete datas

Numa olimpíada de matemática em Singapura, Albert sabe só o mês e Bernard só o dia, e três falas fecham a lista de dez numa data.

A folha com as dez datas possíveis do aniversário de Cheryl, agrupadas por mês.

As dez datas na mesa de Albert e Bernard

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Como duas pessoas chegam a uma data ouvindo uma à outra dizer que não sabe? Cada declaração de ignorância apaga um pedaço da lista, e três falas bastam para restar uma única data entre dez. A lista tem dez datas espalhadas por quatro meses, e o que sobra no fim é 16 de julho.

O tabuleiro veio de uma prova. Em abril de 2015, a Singapore and Asian Schools Math Olympiad aplicou a questão 24 a alunos de catorze e quinze anos, e a folha saiu da sala quando um apresentador de televisão de Singapura fotografou o enunciado e publicou a foto. Em poucos dias a questão circulava traduzida em dezenas de idiomas, com adultos discutindo em mesa de bar uma prova de adolescente.

O enunciado monta a cena assim: Cheryl escreve dez datas possíveis para o aniversário dela e mostra a lista aos dois colegas. Depois conta ao Albert, em segredo, apenas o mês. Conta ao Bernard, também em segredo, apenas o dia. Nenhum dos dois ouve o que o outro recebeu. Então os dois conversam em voz alta, três falas ao todo, e ao fim da terceira ambos sabem a data.

A dificuldade está na direção da informação. Albert e Bernard nunca dizem qual mês ou qual dia receberam, e mesmo assim cada frase deles corta linhas da lista. Dizer que não sabe revela o que o falante viu, porque existem valores que teriam permitido a ele saber. Quem procura afirmações fica parado na primeira leitura. Quem trata cada negação como um corte chega ao fim com uma linha só de pé.

O gesto de transformar silêncio em corte cabe num quebra-cabeça menor, com três pessoas numa fila e cinco chapéus numa caixa, e vale montar ele primeiro para ver o mecanismo em tamanho reduzido, com poucas linhas para riscar e a conclusão saindo em duas rodadas de pergunta.

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I A resposta de ontem

Cinco chapéus, dois silêncios e uma cor certa

Três pessoas em fila, cinco chapéus numa caixa, e quem está na frente acerta a própria cor sem enxergar nada, só de ouvir duas respostas vazias.

A montagem cabe em quatro linhas. A caixa guarda três chapéus pretos e dois brancos. Alguém põe um chapéu em cada uma das três pessoas e esconde os dois que sobraram. Elas ficam em fila indiana: Carla atrás enxerga os chapéus de Bruno e de Ana, Bruno enxerga só o de Ana, e Ana enxerga a parede. Todas conhecem a composição da caixa e todas raciocinam bem.

Perguntam a Carla qual é a cor do chapéu dela. Ela responde que não sabe. Perguntam a Bruno, que também não sabe. Perguntam a Ana, que não viu chapéu nenhum, e ela responde preto, com certeza.

Comece pela resposta de Carla. Só existe um arranjo à frente dela capaz de entregar a cor do próprio chapéu: dois brancos. Como a caixa tem dois brancos ao todo, se Bruno e Ana estivessem de branco, o chapéu de Carla seria preto por eliminação. Ela não soube responder, logo Bruno e Ana não estão os dois de branco.

Bruno ouve exatamente essa conclusão e enxerga a cabeça de Ana. Se Ana estivesse de branco, o chapéu de Bruno teria de ser preto, porque os dois brancos juntos foram descartados pela fala de Carla. Bruno responderia sem hesitar. Ele não respondeu, então Ana não está de branco, e Ana chega a preto sem ver coisa alguma.

Onde a dedução escapa

O primeiro tropeço é tratar a resposta vazia como ausência de dado. Uma pessoa que raciocina bem e não conclui está informando quais arranjos ela não tem diante dos olhos, e a lista desses arranjos é curta e verificável.

O segundo tropeço é ignorar a ordem das falas. Bruno só extrai valor da própria vista depois que Carla fala, porque o corte dela é o que torna a leitura de Bruno decisiva. Inverter a ordem das perguntas destrói a cadeia inteira.

O terceiro tropeço é achar que Ana precisa de sorte. Ela não chuta. A cor dela sai por eliminação de arranjos.

Guarde o formato dessa solução, porque ele reaparece agora vestido de calendário. O trabalho foi listar todos os arranjos possíveis, apagar os que cada fala descarta e conferir o que restou de pé no fim da fila.

O enigma de agora tem dez datas numa folha, dois colegas com meio segredo cada e três frases ditas em voz alta, e o corte funciona pelo mesmo motivo.

II O Enigma do dia

Dez datas na folha e nenhuma pista dita em voz alta

Cheryl mostra dez datas a Albert e a Bernard: 15, 16 e 19 de maio; 17 e 18 de junho; 14 e 16 de julho; 14, 15 e 17 de agosto. Em seguida conta o mês só ao Albert e o dia só ao Bernard. Albert fala primeiro: "Eu não sei quando é o aniversário, e sei que o Bernard também não sabe." Bernard responde: "Eu não sabia, agora sei." Albert conclui: "Então eu também sei." Três perguntas, e as três pedem prova, não exemplo. Primeira: como a fala de Albert derruba dois meses inteiros? Segunda: o que a virada de Bernard elimina? Terceira: qual data sobra e por quê?

As regras valem reler antes de seguir. Os dois enxergam a lista completa de dez datas. Albert recebe apenas o nome do mês, sem o dia. Bernard recebe apenas o número do dia, sem o mês. Cada um escuta as falas do outro e raciocina sem erro, e ninguém mente em nenhuma das três frases.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é procurar a data direto na lista. Nenhuma das dez datas tem propriedade aritmética especial, e ninguém chega a 16 de julho olhando os números com atenção. O caminho passa por descartar linhas, uma fala de cada vez, e ver qual sobrevive às três.

O segundo erro é ler a primeira fala de Albert como uma frase só. Ela tem duas partes que fazem trabalhos diferentes. A primeira parte diz que o mês recebido comporta mais de uma data, o que não elimina nada, porque nenhum dos quatro meses da lista aparece uma vez só. A segunda parte é a que corta, e ela fala do estado de conhecimento do outro, não do próprio.

O terceiro erro é esquecer que Albert continua sem saber o dia. Depois da fala de Bernard, muita gente conclui que Albert já enxerga a data por mágica. Ele enxerga porque o mês na mão dele passou a ter uma única candidata sobrevivente, e existe mês na lista onde sobrariam duas.

Repare em quais dias aparecem uma única vez na lista inteira: o 18 e o 19. Se Bernard tivesse recebido um deles, saberia a data na hora, sem ouvir ninguém. Albert garante que Bernard não sabe, e ele só pode garantir se o mês na mão dele não contém nenhum desses dois dias. A partir daí, cada fala seguinte encolhe o que restou.

Sobra a terceira pergunta, e ela separa o exercício da estrutura. Monte a lista das dez datas numa folha e risque as linhas na ordem em que as falas acontecem, sem pular etapa e sem olhar a resposta que a abertura já entregou.

Responda as três com prova. Mostre por que a garantia de Albert derruba dois meses, diga o que a virada de Bernard descarta e por quê, e feche indicando a única data que sobrevive às três falas. Depois teste o que muda se Albert tivesse dito apenas que não sabe, sem a segunda metade da frase.

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III Sequência

Risque as dez linhas em cinco minutos

O material é uma folha, uma caneta e cinco minutos. O procedimento abaixo produz a data na primeira tentativa, sem tentativa e erro, e termina na linha que o enunciado da olimpíada pede.

1. Escreva as dez datas em quatro grupos, um por mês, com os dias ao lado: maio com 15, 16 e 19; junho com 17 e 18; julho com 14 e 16; agosto com 14, 15 e 17. Circule os dias que aparecem uma vez só na folha inteira, o 19 e o 18.

2. Risque maio e junho por causa da garantia de Albert. Ele afirma saber que Bernard não sabe, e só pode afirmar se o mês dele estiver livre dos dias circulados. Maio carrega o 19 e junho carrega o 18, então nenhum dos dois pode estar na mão de Albert. Restam cinco datas, em julho e agosto.

3. Risque as duas linhas do dia 14 por causa da virada de Bernard. Entre as cinco sobreviventes, o 14 aparece em julho e em agosto, e um Bernard com 14 na mão continuaria em dúvida. Ele passou a saber, logo o dia dele é 16, 15 ou 17. Restam 16 de julho, 15 de agosto e 17 de agosto.

4. Olhe agora pelo lado de Albert e feche a conta. Agosto ainda guarda duas candidatas, e um Albert com agosto na mão seguiria sem escolher. Ele diz que sabe, então o mês dele é julho, que guarda uma só. Sobra 16 de julho.

"Albert e Bernard acabaram de virar amigos de Cheryl, e querem saber quando é o aniversário dela. Cheryl deu a eles uma lista de dez datas possíveis."

Singapore and Asian Schools Math Olympiad, prova de 2015, questão 24, aplicada em abril daquele ano.

O enunciado original cabe em meia página e foi escrito para alunos do ensino fundamental de Singapura, dentro de uma prova cronometrada. A lista de datas nunca foi o assunto. O assunto era treinar o aluno a tratar declaração de ignorância como dado que corta linhas.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A folha de dez linhas vale muito além do aniversário de Cheryl. Escrever todas as possibilidades e riscar as que cada declaração descarta resolve negociação com informação parcial, diagnóstico por exclusão e escolha entre fornecedores que revelam pedaços do próprio custo.

Três frases, nenhuma delas contendo um mês ou um dia, derrubam nove das dez linhas da folha. O conteúdo que cortou a lista foi o que cada falante deixou de saber, não o que ele sabia.

"Quantas conversas da sua semana você tratou como vazias, quando o que o outro não sabia já respondia?"

Teste hoje, em cinco minutos: pegue a última reunião em que alguém disse não ter certeza de um prazo, escreva as datas que estavam em jogo e risque as que aquela frase descarta. Conte quantas linhas sobram. Se sobrar mais de uma, o que faltou foi a segunda pergunta, e ela cabe numa mensagem de dez palavras.