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Os 9 canos que não cabem numa folha de papel
Três casas, água, gás e luz: Dudeney publicou o desafio em 1913 e Kuratowski provou em 1930 por que ele não fecha no plano.
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Três casas, três fontes, nove canos
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Dá para ligar três casas à água, ao gás e à luz com nove canos que nunca se cruzam? No papel, não. Em nenhuma folha, com nenhum traçado, por mais torto que seja o cano.
O desafio é simples de montar. Desenhe três casas numa linha e, abaixo delas, três fontes: a caixa d'água, o registro do gás e o poste de luz. Cada casa precisa de um cano vindo de cada fonte. São três vezes três, nove ligações ao todo.
As regras cabem numa frase: os canos podem fazer a curva que quiserem, dar a volta por fora do desenho e passar entre as casas, mas não podem se cruzar nem atravessar uma casa ou uma fonte no caminho.
Quem tenta começa rápido. As seis primeiras ligações entram sem esforço. A sétima e a oitava pedem uma volta larga pela margem da folha. A nona trava: ela precisa atravessar alguma linha que já está lá, não importa por onde se comece.
A tentação é culpar o traçado e recomeçar com outra ordem. Gente que gosta de charada passa uma tarde inteira trocando a posição das casas, puxando cano por cima, contornando pelo avesso da página. Todas as tentativas param no nono cano, e sempre por um motivo parecido: a volta que libera uma casa fecha o caminho de outra.
A dificuldade tem uma explicação que dispensa tentativa. Ela usa só três números do próprio desenho: quantos pontos há, quantas linhas os ligam e quantas regiões as linhas recortam na folha. Com esses três, a impossibilidade vira conta de somar e subtrair.
Essa conta tem data. O desafio circulava em revistas de passatempo antes da Primeira Guerra, e a matemática que o explica de vez chegou dezessete anos depois, pelas mãos de um polonês. Quem publicou, quem explicou e o caminho que libera o nono cano estão logo abaixo, na resposta.
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I A resposta de ontem
Dudeney propôs, Kuratowski explicou
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Henry Ernest Dudeney, inglês que assinava charadas de lógica e aritmética em revistas londrinas, publicou o problema das três casas em 1913, na The Strand Magazine (revista mensal de Londres, a mesma que lançou Sherlock Holmes). Deu a ele o nome de Água, Gás e Eletricidade e avisou que o desafio já era antigo.
Antigo quanto, Dudeney não disse. Não se conhece registro impresso anterior a 1913 com a versão das casas e das fontes, e a origem segue desconhecida porque o problema chegou às revistas já pronto, contado de boca como aposta de salão.
O americano Sam Loyd, rival de Dudeney no ramo das charadas, às vezes aparece como autor. Não há página de Loyd com o problema que antecipe a de Dudeney, e a atribuição vive de repetição, sem fonte que a sustente.
A ferramenta para explicar a impossibilidade existia muito antes do desafio. Leonhard Euler, matemático suíço, escreveu em 1750, numa carta a Christian Goldbach, a relação que leva o nome dele: em todo poliedro, vértices menos arestas mais faces dá 2. A mesma conta vale para qualquer desenho de pontos e linhas feito no plano sem cruzamento.
Kazimierz Kuratowski, matemático polonês de Varsóvia, fechou a questão em 1930, no artigo Sur le problème des courbes gauches en topologie (Sobre o problema das curvas reversas na topologia), publicado na revista Fundamenta Mathematicae (Fundamentos da Matemática). Ele provou uma regra geral, válida para qualquer rede de pontos e linhas.
A regra diz que uma rede cabe no plano sem cruzamento se, e só se, não esconde dentro dela uma de duas figuras proibidas. A primeira é o pentágono com todas as diagonais: cinco pontos, cada um ligado aos outros quatro. A segunda é exatamente o desenho das três casas.
Os matemáticos chamam o desenho das casas de K3,3 (três pontos de um lado, três do outro, cada um ligado aos três da frente). Kuratowski mostrou que ele é um dos dois únicos obstáculos de fundo: toda rede que não cabe na folha carrega um dos dois, às vezes esticado com pontos extras no meio das linhas.
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O desenho das três casas é uma das duas únicas figuras que nenhuma folha plana comporta.
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Onde o nono cano cabe
Numa boia, o problema some. Na superfície de um toro (o formato de boia ou de rosquinha), o furo do meio oferece um caminho que o plano não tem, e os nove canos passam sem se tocar.
Numa caneca também: a alça funciona como ponte. O cano que travaria no papel sobe pela alça e desce do outro lado, sem cruzar nada. A solução da caneca circula como pegadinha de festa, correta no desenho e trapaceira na regra, porque sai do plano.
No papel, o mínimo possível é um cruzamento. Com oito canos sem se tocar e o nono atravessando um só, o desenho fecha. Com zero cruzamentos, nenhuma folha aceita, e a seção de baixo mostra a conta que prova.
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II O Enigma do dia
Seis pontos, nove canos, cinco regiões
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Suponha que os 9 canos coubessem na folha sem cruzar. Quantas regiões o desenho recortaria, pela relação de Euler? Qual o número mínimo de canos na borda de cada região? Pergunta extra: tirando um único cano, o desenho dos 8 restantes cabe no plano?
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O enigma pede a prova da impossibilidade por contagem, sem tentativa no papel. Ela sai de três números que o desenho já entrega: 6 pontos (3 casas e 3 fontes), 9 canos e as regiões que eles recortariam.
Região, aqui, é cada pedaço da folha cercado por canos, contando também a parte de fora, que se estende até a borda do papel. Um círculo desenhado numa folha recorta duas regiões: a de dentro e a de fora.
A relação de Euler, para desenho plano sem cruzamento e sem pedaço solto, diz: pontos menos canos mais regiões dá 2. Basta isolar o número de regiões.
Para a borda mínima, olhe o tipo de ligação. Todo cano vai de uma casa até uma fonte. Nenhum liga casa a casa, nenhum liga fonte a fonte.
Uma pista: tente cercar uma região com 3 canos. Siga o contorno a partir de uma casa, anote onde cai a cada passo e veja se o terceiro passo devolve você ao ponto de partida.
A pergunta extra testa a outra ponta da regra. Se a falta de espaço vem de um cano a mais, a mesma conta, feita com 8, precisa dizer se sobra ou falta lugar.
Três erros de contagem
O primeiro é esquecer a região de fora. Ela conta como qualquer outra, e sem ela a relação de Euler dá um número a menos.
O segundo é achar que a borda mínima é 3, como num triângulo. Um triângulo precisaria de um cano entre duas casas ou entre duas fontes, e o desafio não tem nenhum.
O terceiro é contar cada cano uma vez só na soma das bordas. Todo cano separa duas regiões, uma de cada lado, e por isso aparece na borda de ambas.
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Conte pontos, canos e regiões; a folha plana só aceita o desenho se as três contagens concordarem.
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Responda por escrito: o número de regiões, a borda mínima de cada uma e o sim ou não da pergunta extra.
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