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Os 18 lances que ninguém baixou no Resta Um
Na cruz de 33 casas, fechar com uma peça no centro custa 18 lances: Bergholt achou em 1912 e Beasley provou o piso em 1964.
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Cruz de 33 casas, centro vazio
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Quantos lances leva, no mínimo, para esvaziar o Resta Um e deixar a última peça no centro? Dezoito. Com dezessete não fecha, e a prova tem data e dono.
O tabuleiro inglês tem 33 casas em forma de cruz: um quadrado de nove casas no meio e quatro braços de seis casas cada. A partida começa com 32 peças e só o furo do centro livre. A única jogada permitida é o salto: uma peça pula uma vizinha, em linha reta, e cai na casa vazia logo atrás. A peça pulada sai do tabuleiro.
Cada salto tira exatamente uma peça. De 32 para 1 são 31 saltos, sempre, em qualquer solução possível. Contar saltos, portanto, não separa o jogador bom do jogador comum: todo mundo que termina faz os mesmos 31.
O que separa é o lance. No jargão do Resta Um, lance é a sequência de saltos seguidos que a mesma peça faz sem ser largada: se ela pula uma, cai, e pula outra logo depois, os dois saltos contam como um lance só. Quem encadeia bem gasta menos lances.
A intuição diz que dá para encurtar muito. Uma peça no meio do tabuleiro cheio parece ter espaço para uma corrida longa, comendo seis ou sete de uma vez. Na prática, as peças ficam presas: para saltar, a casa de pouso precisa estar vazia, e no começo quase nenhuma está.
Há ainda um grupo de oito peças que ninguém consegue comer. Ficam nas pontas externas dos braços da cruz, duas por braço, e nenhuma linha de três casas passa por elas pelo meio. Cada uma só sai do lugar se ela mesma saltar.
Juntando essas travas, o mínimo sobe até 18. Achar uma solução com esse número custou décadas de tentativa, e provar que ninguém faria melhor custou mais meio século. Os nomes, as datas e o jeito como a prova foi montada vêm logo abaixo, na resposta.
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I A resposta de ontem
Bergholt achou, Beasley fechou
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Ernest Bergholt, escritor inglês de livros sobre jogos de cartas e de salão, publicou em 1912 uma solução do Resta Um de 33 casas em 18 lances, na revista londrina The Queen. Ninguém tinha descido tanto, e ninguém desceria mais.
Bergholt não deixou prova de mínimo. Mostrou que 18 era possível e parou aí. Durante 52 anos, o número ficou como recorde e como pergunta aberta: talvez alguém, com paciência, achasse um caminho de 17.
John Beasley, matemático inglês e estudioso de jogos de tabuleiro, fechou a pergunta em 1964. A prova dele não testa caminho por caminho, que seriam incontáveis à mão. Ela conta obrigações: lances que qualquer solução precisa gastar, em qualquer ordem.
O ponto de partida são as oito peças de canto. Nenhuma pode ser comida, então cada uma precisa fazer pelo menos um lance próprio. Dois cantos nunca dividem o mesmo lance, porque um lance move uma peça só. Aí já estão 8.
Beasley dividiu o resto da cruz em regiões de casas vizinhas que só se esvaziam se algum lance começar lá dentro. Somou essas regiões aos cantos, acrescentou o primeiro lance, que é forçado e sai de uma casa colada ao centro, e a conta bateu exatamente em 18. O piso encontrou o recorde de Bergholt.
A prova virou referência. Beasley reuniu o argumento, com as soluções conhecidas e a história do jogo, no livro The Ins and Outs of Peg Solitaire (Os dentros e foras da paciência de pinos), de 1985, e o recorde de 1912 segue intocado desde então.
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No Resta Um, saltos todo mundo faz 31; o que se economiza é lance, e o piso de lances é 18.
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Antes da cruz inglesa
O jogo já corria a França no fim do século 17. Uma gravura de Claude-Auguste Berey, datada de 1697, mostra Anne de Rohan-Chabot, princesa de Soubise, diante de um tabuleiro de solitário. É o registro datado mais antigo que se conhece do jogo.
O tabuleiro francês tem 37 casas, quatro a mais que o inglês, preenchendo os cantos internos da cruz. A diferença pesa: começando com o centro vazio, o francês não termina com uma peça só no centro, e a versão de 33 casas termina.
Quem inventou o jogo, ninguém sabe. A história de que um prisioneiro da Bastilha o criou na cela circula desde o século 19 e não tem documento que a sustente; a origem segue desconhecida porque a gravura de 1697 já mostra o jogo pronto.
O nome brasileiro diz o objetivo sem rodeio. Em inglês é peg solitaire (paciência de pinos); em francês, solitaire (solitário). Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo e matemático alemão, jogava o jogo de trás para a frente, e deixou o método escrito numa carta de 1716.
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II O Enigma do dia
Trinta e um saltos em dezoito lances
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Uma solução do Resta Um de 33 casas termina com a última peça no centro em 18 lances. Quantos saltos ela faz ao todo? Quantos saltos existem além de um por lance? Pergunta extra: se só um dos 18 lances fosse de salto múltiplo, quantos saltos ele encadearia?
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O enigma não pede que você ache a solução de 18 lances no tabuleiro. Pede só a contabilidade dela, e a contabilidade sai de duas regras que já estão na mesa: cada salto tira uma peça, e cada lance move uma peça só.
As regras são as do jogo padrão. O tabuleiro começa com 32 peças e o centro livre, a partida termina com uma peça no centro, e nenhum salto é diagonal. Um lance simples tem um salto; um lance múltiplo tem dois ou mais saltos seguidos da mesma peça.
A resposta pede três números inteiros: o total de saltos, o excedente de saltos sobre lances e o tamanho do lance múltiplo da pergunta extra.
Uma pista: comece pelas peças, não pelos lances. Conte quantas saem do tabuleiro entre o começo e o fim. O resto da conta é subtração.
Vale conferir o tamanho do número antes de responder. Um lance de muitos saltos exige uma trilha de casas alternadas, cheia e vazia, cheia e vazia, e o tabuleiro de 33 casas tem pouco espaço para trilhas longas. A pergunta extra é de contabilidade pura: ela não afirma que esse lance gigante caiba na cruz, só pede o tamanho que ele teria.
Três tropeços comuns
O primeiro tropeço é contar 32 saltos, um por peça do tabuleiro. A peça que sobra no centro nunca é comida, então ela não gera salto nenhum.
O segundo é achar que 18 lances significam 18 saltos. Se cada lance fosse simples, a partida acabaria com 14 peças na mesa. O lance múltiplo é justamente o que permite fechar com tão poucos lances.
O terceiro é esquecer que o lance múltiplo também conta como um lance. Quem desconta todos os 18 dos 31 saltos acerta o excedente, mas erra a pergunta extra por um.
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Conte peças que saem para achar saltos; conte peças que se movem para achar lances.
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Responda por escrito: o total de saltos, o excedente e o tamanho do lance múltiplo.
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