I  A resposta de ontem

O defeito mora na letra que troca de valor no meio da conta

A troca não compensa, e a média de cento e vinte e cinco reais não descreve mesa nenhuma que exista. O furo está numa única linha da conta popular, no lugar em que a mesma letra aparece duas vezes valendo quantias diferentes.

Escreva a mesa antes de escrever a conta. Existe um par de envelopes só, com uma quantia menor e o dobro dela, e essas duas quantias ficaram decididas antes de você encostar a mão em qualquer um dos dois. Chame a menor de x, e a mesa inteira é x e 2x, nada além.

Agora percorra os dois casos possíveis. Se a sua mão pegou o envelope menor, você tem x e a troca lhe dá mais x. Se pegou o maior, você tem 2x e a troca lhe tira x. Ganho e perda têm o mesmo tamanho em reais, cada caso tem a mesma chance, e a média da troca é zero.

A conta popular faz outra coisa. Ela fixa cem reais como o valor da sua mão e, na frase seguinte, imagina duas mesas diferentes ao mesmo tempo: uma mesa de cinquenta e cem, e uma mesa de cem e duzentos. Depois soma um resultado de cada mesa e tira a média. As duas mesas não podem coexistir, e a média entre elas não pertence a nenhuma das duas.

O mesmo defeito aparece na fórmula. Quem escreve metade do dobro mais metade da metade está usando a letra da sua quantia como se ela fosse a menor numa parcela e a maior na outra parcela, dentro da mesma soma. Trocar o valor de uma letra no meio de uma linha invalida a linha inteira, e nenhum argumento posterior conserta.

A troca só passaria a compensar se abrir o envelope trouxesse alguma informação sobre qual mesa está na sua frente, e cem reais sozinhos, sem nada mais combinado, não trazem informação nenhuma.

Existe um cenário em que a informação aparece, e ele vale a pena olhar. Se você souber de antemão que quem montou a mesa nunca coloca mais de cento e cinquenta reais no envelope maior, então ver cem na sua mão diz que a sua mão tem o maior, e a troca passa a ser ruim com certeza. Distribuição conhecida muda a decisão, e é ela que faltava na conta original.

O enigma de hoje troca envelope por tabuleiro e vira a exigência do avesso. Lá o trabalho era achar o furo de uma conta curta. Aqui a conta é honesta desde o começo, e o trabalho é provar que uma lista de posições não deixou nenhuma de fora.

II  O Enigma do dia

Oito rainhas, sessenta e quatro casas e uma lista para fechar

As regras não escondem nada. O tabuleiro é o comum, de oito por oito, as oito rainhas são iguais entre si, não existe peça de outro tipo em campo e não existe lance a jogar depois. A posição precisa apenas ficar de pé sem uma rainha vendo a outra.

Duas coisas para fixar antes de começar. Primeira: uma rainha ameaça outra a qualquer distância, então duas rainhas na mesma diagonal se atacam mesmo separadas por seis casas vazias. Segunda: a pergunta pede as duas entregas, um arranjo concreto e o total, e o total é a parte que dá trabalho.

Onde quase todo mundo trava

O erro mais comum é achar uma posição válida, comemorar e parar. A primeira solução sai por tentativa e erro em poucos minutos, e ela não responde nada da pergunta principal. Uma lista de uma linha não prova que existem mais noventa e uma, e muito menos que não existe uma nonagésima terceira.

O segundo erro é contar arranjos girados e espelhados como se fossem o mesmo. Quem faz isso chega a doze, que é o número de soluções realmente diferentes quando se ignora rotação e reflexão do tabuleiro. Doze e noventa e dois descrevem a mesma realidade sob duas regras de contagem, e a pergunta de hoje pede a segunda.

O terceiro erro é a força bruta ingênua. Escolher oito casas entre sessenta e quatro dá quatro bilhões e quatrocentos e vinte e seis milhões de combinações, e testar isso na mão levaria séculos. Sem uma restrição que corte o campo logo no começo, não existe caminho.

Repare no que a restrição certa faz com o tamanho do problema. Duas rainhas na mesma coluna se atacam, logo cada uma das oito colunas tem exatamente uma rainha. Essa observação sozinha derruba quatro bilhões de combinações para dezesseis milhões e setecentos mil, e a próxima observação derruba de novo, para menos de quarenta e um mil.

A pergunta é essa, e ela pede o caminho junto com o número. Escreva um arranjo válido em oito algarismos, diga quantos arranjos existem ao todo com giros e espelhos contados à parte, e mostre a ordem de busca que garante que a sua lista não deixou nenhuma posição para trás.

III  Sequência

Uma coluna por rainha e a poda que economiza a busca

O material é uma folha quadriculada, um lápis e um quadrado de oito por oito desenhado à mão. Oito moedas em cima do quadrado ajudam a conferir no fim, mas comece pelos números: a busca escrita é mais rápida e não perde o rastro do que já foi testado.

A notação faz metade do serviço. Como cada coluna tem uma rainha só, um arranjo inteiro cabe em oito algarismos, um por coluna, dizendo em que linha aquela rainha está. O arranjo 15863724, por exemplo, descreve uma posição completa, e conferir uma posição vira conferir uma sequência de oito números.

1. Corte pelas colunas. Escreva a solução como oito algarismos, um por coluna, com valores de 1 a 8. Só essa decisão troca as quatro bilhões e quatrocentas e vinte e seis milhões de escolhas de casas por dezesseis milhões e setecentas e setenta e sete mil sequências, sem perder uma única posição válida.

2. Corte pelas linhas. Duas rainhas na mesma linha se atacam, então os oito algarismos precisam ser todos diferentes: a sequência é uma permutação dos números de 1 a 8. Sobram quarenta mil trezentas e vinte candidatas, e agora a conta cabe numa varredura organizada.

3. Corte pelas diagonais, coluna por coluna. Duas rainhas nas posições de coluna i e j se atacam na diagonal quando a diferença das linhas é igual à diferença das colunas. Escolha a rainha da coluna 1, depois a da coluna 2, e assim por diante: na primeira colisão, apague a última escolhida e tente o próximo valor.

A frase acima resolve o número e deixa o método de fora, e repare no tamanho do silêncio. Ela não diz em que ordem varrer as colunas, não diz onde interromper um ramo que já morreu e não diz como saber que a varredura terminou. O silêncio é justamente onde a sua tabela entra.

Se travar, encolha o tabuleiro antes de brigar com o grande. No tabuleiro de quatro por quatro existem duas soluções, no de cinco por cinco existem dez, no de seis por seis existem quatro, e no de sete por sete existem quarenta.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Um aviso de jogo limpo. Achar o número pronto na internet não vale ponto: o que conta é escrever um arranjo válido com a própria mão e descrever a ordem de busca que fecharia a lista inteira, com os três cortes anotados ao lado.

A charada dos envelopes pune quem confia na média, e a do tabuleiro pune quem confia na primeira tentativa que dá certo. Uma pede que você olhe duas vezes para a mesma letra, a outra pede que você prove que não sobrou nada.

"Quantas vezes você parou na primeira resposta que funcionou sem perguntar quantas outras havia?"

O Silêncio na Mesa

O Protocolo de 4 Tempos pra soltar uma charada e travar a conversa inteira.

Na primeira vez que contou os arranjos das oito rainhas, em quantas soluções Gauss parou antes de refazer a varredura?

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