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Existe número sem graça? Não existe, e a prova mais famosa veio de um leito de hospital, em menos tempo do que se leva para tirar o casaco.
Londres, 1919. Um matemático inglês pega um táxi até Putney, bairro no sul da cidade, para visitar um colega doente. No caminho, repara na placa do carro: 1729. Olha o número, não vê nada nele e chega ao quarto com a observação pronta, meio em tom de brincadeira, meio de desânimo.
O táxi tinha um número chato, ele diz. Tão chato que talvez fosse mau presságio para a saúde do amigo.
O homem na cama discorda sem pensar duas vezes. O número não é chato, responde. É o menor número inteiro que se escreve como soma de dois cubos de dois jeitos diferentes.
Cubo, aqui, é um número multiplicado por ele mesmo três vezes: o cubo de 2 é 8, o de 3 é 27. A resposta diz que existem dois pares de cubos que, somados, dão exatamente 1729, e que nenhum número menor consegue a mesma façanha.
Os dois pares são estes: 1 mais 1728, e 729 mais 1000. O primeiro junta o cubo de 1 com o cubo de 12. O segundo junta o cubo de 9 com o cubo de 10. As duas contas batem no mesmo total.
A parte curiosa é a segunda metade da frase, a do menor. Achar uma soma dupla é trabalho de paciência. Garantir que nenhum número abaixo de 1729 tem duas somas exige olhar todos os candidatos, e o doente fez a afirmação sem papel, sem lápis e sem pedir um minuto.
O visitante guardou a cena e a contou por escrito dois anos depois. Graças ao relato, 1729 ganhou apelido, virou nome de família inteira de números e aparece até hoje em episódios de desenho animado, escondido em placas e telas.
Quem eram os dois homens, de onde o doente tirou a resposta e quem chegou ao 1729 dois séculos e meio antes deles estão logo abaixo, na resposta.
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I A resposta de ontem
A placa que um francês já tinha somado
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Godfrey Harold Hardy, professor de matemática em Cambridge, fez a visita a Srinivasa Ramanujan, matemático indiano que estava internado numa casa de repouso em Putney. Hardy contou a cena em 1921, no texto em memória do amigo publicado nos Proceedings of the London Mathematical Society (Atas da Sociedade Matemática de Londres).
Ramanujan nasceu em 1887, em Erode, no sul da Índia, e aprendeu matemática quase sozinho, com um livro de fórmulas sem demonstrações. Em 1913 escreveu a Hardy uma carta com dezenas de resultados. Hardy leu, reconheceu um talento raro e o levou para Cambridge em 1914.
Na Inglaterra, Ramanujan adoeceu. Vegetariano rigoroso num país em guerra e com comida racionada, passou por sanatórios a partir de 1917. Voltou à Índia em 1919 e faleceu em Kumbakonam, em abril de 1920, com 32 anos.
A velocidade da resposta tem explicação. Ramanujan não calculou o 1729 no quarto: ele já o conhecia. Nos cadernos dele, a igualdade entre 9 ao cubo mais 10 ao cubo e 12 ao cubo mais 1 aparece anotada, parte de um estudo sobre somas de cubos que quase dão outro cubo.
Ken Ono, matemático americano da Universidade Emory, mostrou em 2015 que esse estudo ligava o 1729 a uma família de curvas que os matemáticos chamam de superfícies K3 (formas geométricas complexas, batizadas em 1958 pelo francês André Weil). Ramanujan tinha chegado perto de uma teoria que só nasceria décadas depois da morte dele.
O número, porém, não era novidade nem para ele. Bernard Frénicle de Bessy, matemático amador francês, registrou as duas somas de 1729 em 1657, numa troca de desafios com outros estudiosos da época. Frénicle chegou antes, mas a fama ficou com a placa do táxi.
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O 1729 já estava anotado em 1657; a proeza de Ramanujan foi saber de cor que nenhum número menor repete a façanha.
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O nome que ficou
Por causa da história, os números que se escrevem como soma de dois cubos de n jeitos diferentes ganharam o nome de números de táxi (em inglês, taxicab numbers). O primeiro da lista com duas somas é o 1729.
O seguinte, com três somas, é 87.539.319, encontrado em 1957 por John Leech, matemático britânico. A lista cresce devagar: o número com seis somas diferentes só foi confirmado em 2008, por Uwe Hollerbach, com ajuda de computador.
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II O Enigma do dia
Doze cubos e uma soma repetida
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Prove que 1729 é o menor número inteiro positivo que se escreve como soma de dois cubos positivos de duas formas diferentes. Pergunta extra: se valerem cubos negativos, qual é o menor número positivo com duas somas?
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O enigma pede a prova do menor, sem computador. A primeira metade, a de que 1729 tem duas somas, a conta confirma: 1 mais 1728 e 729 mais 1000 dão o mesmo total.
A segunda metade exige mostrar que nenhum número de 2 a 1728 aceita duas somas. Parece uma lista infinita de testes, mas cabe numa folha.
A primeira pista está no tamanho dos cubos. Se um número é menor que 1729, nenhum dos cubos que o compõem pode passar de 1728, que é 12 ao cubo. O cubo de 13 já dá 2197, grande demais.
Então só existem 12 cubos candidatos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331 e 1728. Toda soma que interessa junta dois deles, repetidos ou não.
A segunda pista está na quantidade de pares. Com 12 cubos, contando os pares de cubos iguais, há um número limitado de somas possíveis. Basta escrever todas e procurar um total que apareça duas vezes.
A pergunta extra muda a regra do jogo. Com cubos negativos, uma soma pode ser, por exemplo, 216 menos 125. O número resultante fica pequeno, e a caça ao repetido vai para bem abaixo de 1729.
Um atalho encurta a busca: a soma de dois cubos só pode se repetir se os pares trocarem de lugar na escala, um par com um cubo bem pequeno e outro bem grande, contra um par de dois cubos médios. É o desenho do 1729.
Três armadilhas
A primeira é esquecer os pares de cubos iguais, como 1 mais 1 ou 1000 mais 1000. Eles também são somas de dois cubos e entram na tabela.
A segunda é contar 1 mais 1728 e 1728 mais 1 como formas diferentes. A ordem não muda a soma, então os dois contam como uma forma só.
A terceira é parar no primeiro total pequeno que parece repetido sem conferir a conta. Somar de cabeça 343 com 1331 e 512 com 1000 dá números próximos, mas diferentes, e o engano custa o enigma.
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Doze cubos bastam: quem escreve todas as somas deles encontra um único total repetido, e é o do táxi.
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Responda por escrito: a lista das somas repetidas abaixo de 1729 e o número da pergunta extra, com os dois pares de cubos.
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