In partnership with

ED 005

O tabuleiro sem dois cantos

Serre os dois cantos opostos, sobram 62 casas, e os 31 dominós que deveriam caber nunca fecham o tabuleiro.

Um tabuleiro de xadrez com as duas casas dos cantos opostos serradas fora e dominós parados ao lado.

Dois cantos serrados e 31 dominós na mesa

▼

Por volta de 1179, na Inglaterra, um tesoureiro chamado Richard FitzNeal descreveu a mesa em que as contas do reino eram feitas. Um pano escuro esticado sobre o tampo, riscado em quadrados de mais ou menos um palmo, e fichas soltas em cima. Cada coluna valia uma unidade de dinheiro, e mover uma ficha de casa mudava o valor dela.

O livro dele se chama Dialogus de Scaccario, o diálogo sobre o tabuleiro. O Tesouro inglês pegou o nome do móvel e nunca mais devolveu: o cargo de Chanceler do Erário ainda carrega o tabuleiro no título, oitocentos anos depois.

Repare no que a mesa era. Não havia número escrito em lugar nenhum, nem conta armada no papel. A grade fazia a aritmética sozinha: o valor da ficha estava na posição, e somar era empurrar peça de uma casa para a outra. Um quadriculado é uma máquina de contar disfarçada de enfeite.

O tabuleiro de xadrez chegou à Europa liso. O shatranj persa era jogado num quadrado de 64 casas da mesma cor, sem alternância nenhuma, e assim ele atravessou o mundo islâmico inteiro.

As casas claras e escuras aparecem por aqui só por volta do século XI, e não mexeram em uma regra sequer. Nenhuma peça anda diferente por causa da cor da casa em que pisa, e o jogo funcionaria igual num tampo de madeira crua.

A alternância não serve ao jogo, e mesmo assim ninguém joga sem ela. O jogador confere o canto antes do primeiro lance, casa clara à direita, e sabe num relance que o tabuleiro está torto sem precisar contar coisa nenhuma. A cor virou o jeito mais rápido de auditar 64 casas de longe.

Antes de serrar dois cantos, vale fechar um torneio de 128 inscritos que parece pedir soma rodada por rodada e cabe numa linha só. A saída não está no chaveamento: está em contar o que cada duelo consome.

Continue lendo ↓

I A Resposta de Ontem

O torneio que se conta pelas derrotas

Cento e vinte e oito inscritos, um troféu e uma conta que cabe numa linha.

Cento e vinte e oito inscritos num torneio eliminatório. Quem perde vai embora na hora, quem ganha avança, e no fim sobra um campeão de pé. Quantos confrontos o torneio inteiro precisa?

O reflexo é somar rodada por rodada. Sessenta e quatro duelos na primeira, trinta e dois na segunda, dezesseis, oito, quatro, dois, e a final. A conta fecha e o número aparece, mas ela custa sete parcelas, e uma delas costuma sair errada na pressa.

Pior: a soma só é confortável porque 128 é uma potência de dois. Troque por 97 inscritos e o chaveamento ganha byes, rodada incompleta e gente que entra direto na segunda fase. A soma vira um quebra-cabeça à parte, e o campeão continua sendo um só.

Antes de somar qualquer coisa, olhe para o que o torneio produz. Ele não produz confrontos: produz eliminados. E cada confronto entrega exatamente um, nunca dois, nunca nenhum.

Cada duelo elimina um jogador, sempre um. O torneio inteiro cabe nessa frase.

O resto é subtração. Cento e vinte e oito entram, um levanta o troféu, então cento e vinte e sete saíram pelo caminho. Um duelo para cada eliminado, e a resposta fecha em 127.

Repare no que essa conta aguenta. Com 97 inscritos, 96 duelos. Com cinco mil, 4.999. Não importa quem enfrenta quem, quantos byes o chaveamento distribui, se as fases têm tamanhos diferentes ou se o sorteio muda no meio do caminho.

A soma rodada a rodada também acerta, e mesmo assim é a resposta pior. Ela depende do formato do torneio: mude a árvore e a soma inteira precisa ser refeita. A contagem por eliminados não se mexe, porque ela não olha para a árvore em momento algum.

Esse é o sinal de que você contou a coisa certa: a resposta para de depender da arrumação. Enquanto o número muda quando o chaveamento muda, você ainda está contando um detalhe do desenho, não o problema.

O método cabe em duas perguntas. O que cada jogada consome, sem exceção? E quanto desse material existe no começo e no fim? Com as duas respostas na mão, o miolo pode ser qualquer coisa: você lê as pontas, divide, e o meio perde a voz.

Vale longe de qualquer quadra. Uma corda cortada nove vezes vira dez pedaços, e ninguém precisa acompanhar em que ordem as tesouradas caíram. Cada corte cria exatamente um pedaço novo, e o resto é subtração de novo.

Guarde a pergunta sobre o que cada jogada consome, porque o enigma que vem agora tira o torneio da mesa e põe um tabuleiro no lugar. A conta vai fechar de primeira, redondinha, sem resto, e o tabuleiro vai continuar de pé.

II O Enigma do Dia

As 62 casas e os 31 dominós

Um tabuleiro de xadrez comum, oito por oito. Serre fora as duas casas dos cantos opostos, na mesma diagonal. Sobram 62 casas e você tem 31 dominós, cada um cobrindo exatamente duas casas vizinhas. Cubra tudo, ou prove em uma linha que ninguém consegue.

O tabuleiro é o de sempre: 64 casas, oito fileiras de oito, cores alternando de casa em casa como em qualquer partida.

Os dois cantos que saem são opostos, pontas da mesma diagonal longa. Serre a casa de baixo à esquerda e a casa de cima à direita, e jogue as duas fora.

O dominó é uma peça retangular que cobre duas casas coladas, das que dividem um lado inteiro. Deitado ou em pé, tanto faz, e você pode girar quantas peças quiser. Na diagonal, nunca.

Os 31 dominós são iguais entre si e você usa todos, sem sobrar peça na mão no fim.

Fora da regra: sobrepor peças, deixar dominó pendurado para fora da borda, cortar dominó ao meio, cobrir a mesma casa duas vezes, deixar qualquer casa descoberta, ou parar em 30 e dizer que deu.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro impulso é tentar. Você preenche a fileira de cima com quatro peças, desce, e vai bem por seis ou sete fileiras. Perto do fim sobra uma casa solta e um dominó na mão sem lugar onde pousar.

A segunda tentativa muda a ordem. Começa pelo meio, vira metade das peças de lado, cerca a borda antes de fechar o centro. O travamento reaparece em outro ponto do tabuleiro, e o resultado é o mesmo: uma casa nua e uma peça sobrando.

A terceira via é a força bruta, testar tudo até alguma arrumação fechar. O tabuleiro inteiro, sem corte nenhum, aceita quase 13 milhões de arrumações diferentes de dominós. Nenhuma mesa de cozinha dá conta de varrer o campo na unha.

Sessenta e duas casas, trinta e um dominós, duas casas para cada peça. A divisão é exata e o tabuleiro não fecha.

A aritmética aqui é generosa, ao contrário do torneio. Sessenta e dois dividido por dois dá trinta e um na conta redonda, sem resto e sem sobra. Contar casas diz que cabe.

O aperto mudou de natureza. Não falta peça e não falta espaço: falta uma razão. Cada tentativa fracassada derruba uma arrumação só, e as arrumações são milhões.

Existe um argumento de uma linha que derruba todas de uma vez, as que você já tentou e as que nunca vai tentar. Ele não testa arrumação nenhuma, e não precisa testar.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Um tabuleiro oito por oito, dois cantos opostos fora, 31 dominós, cada um cobrindo duas casas vizinhas, e todas as peças na mesa desde a primeira linha.

Quem banca a edição de hoje

Smart starts here.

You don't have to read everything — just the right thing. 1440's daily newsletter distills the day's biggest stories from 100+ sources into one quick, 5-minute read. It's the fastest way to stay sharp, sound informed, and actually understand what's happening in the world. Join 4.5 million readers who start their day the smart way.

Join for free today!

O clique de apoio mantém a edição gratuita

III Sequência

Um papel quadriculado e dois X

Pegue um papel quadriculado e desenhe um quadrado de oito por oito. Risque um X nos dois cantos opostos e recorte 31 retângulos, cada um do tamanho de duas casas.

Quem mexe com a mão fecha mais rápido que quem tenta segurar o tabuleiro inteiro de cabeça. E o papel guarda o que a memória perde: cada tentativa fica registrada e para de virar a mesma tentativa duas vezes.

1. Cubra até travar, três vezes, com arrumações bem diferentes entre si. Anote em cada rodada qual casa ficou descoberta no fim. Se o mesmo tipo de casa sobra sempre, a repetição parou de ser azar.

2. Pare de procurar a arrumação certa. Troque a pergunta: em vez de perguntar como cobrir tudo, pergunte o que todo dominó faz, caia onde cair, sem uma única exceção.

3. Feche o palpite por escrito antes de largar o problema. Palpite guardado só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

"Se você não consegue resolver o problema proposto, tente resolver primeiro algum problema relacionado."

George Pólya, A Arte de Resolver Problemas, 1945.

O problema relacionado aqui tem quatro casas. Desenhe um tabuleiro de dois por dois, tire os dois cantos opostos e olhe o que sobra: duas casas que se tocam pelo bico, e um dominó que não alcança as duas.

O tabuleiro pequeno falha por um motivo que se enxerga sem esforço nenhum. O de 64 casas falha pelo mesmo motivo, só que espalhado por 62 casas e escondido atrás de milhões de tentativas plausíveis.

A Sequência é o placar de quem vira a chave sozinho. Um ponto por enunciado fechado antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Ninguém está cronometrando. O enigma trabalha melhor solto: você lê agora, larga, e a resposta costuma chegar no banho ou na fila do mercado. Aberto perto da meia-noite, ele disputa espaço com o sono, e o sono ganha.

Se fechar em dois minutos, escreva o caminho mesmo assim. A resposta sozinha não serve para o próximo problema. O método serve, e fica com quem registrou o raciocínio ainda quente.

Um último aviso de jogo limpo. A prova cabe em uma linha, com folga zero. Se o seu plano precisa cortar um dominó ao meio, deitar uma peça na diagonal ou deixar uma casa de fora, ele ainda não é o plano.

Sessenta e duas casas descobertas, trinta e um dominós na mão, e nenhuma arrumação que feche o tabuleiro.

As 62 casas já estão descritas pelo enunciado. Falta achar o que todo dominó carrega junto.

"O que todo dominó leva junto, caia onde cair?"