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O número 6174 que toda conta de 4 algarismos encontra
Ordene os dígitos, subtraia o menor do maior e repita: em até 7 passos, qualquer número de 4 algarismos para no 6174.
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Quatro algarismos, sete passos, um destino
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Dá para escolher um número de quatro algarismos que escape de um destino marcado? Não dá. Qualquer escolha, desde que os algarismos não sejam todos iguais, termina no 6174.
Pegue o ano 2026. Arrume os algarismos do maior para o menor e forme 6220. Arrume do menor para o maior e forme 0226. Subtraia: 6220 menos 226 dá 5994.
Repita com o resultado. 9954 menos 4599 dá 5355. Depois vem 1998, depois 8082, depois 8532. No sexto passo a conta devolve 6174, e ali ela para de andar.
Ela para porque 6174 se reproduz. Os algarismos dele formam 7641 e 1467, e 7641 menos 1467 dá de novo 6174. Daquele ponto em diante, cada nova subtração repete o mesmo número para sempre.
Agora tente fugir. Comece por 3524 e a conta chega lá em três passos: 3087, 8352, 6174. Comece por 9831 e ela leva sete: 8442, 5994, 5355, 1998, 8082, 8532, 6174. Nenhum número de quatro algarismos passa de sete.
A única saída proibida é o número de algarismos repetidos. 7777 menos 7777 dá zero, e o zero não sai do lugar. Basta um algarismo diferente, como em 7776, para a conta voltar a correr rumo ao mesmo ponto.
Com os 8.991 números de 1000 a 9999 que não repetem um algarismo só, a trilha é sempre a mesma. Muda o caminho, muda o número de passos, mas o endereço final é um só.
O número tem dono. Ele se chama constante de Kaprekar, em homenagem ao professor indiano que montou a conta e a anunciou numa conferência de matemática em 1949. Ele não trabalhava em universidade: dava aula numa escola de cidade pequena, e a fama veio décadas depois.
Quem era esse professor, como a conta saiu da Índia para o mundo e quantos outros números com o nome dele ainda circulam por aí, você descobre na resposta logo abaixo.
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I A resposta de ontem
O professor de Devlali e o número que se repete
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Dattatreya Ramchandra Kaprekar nasceu em 17 de janeiro de 1905, em Dahanu, cidade litorânea perto de Bombaim, hoje Mumbai. Estudou no Fergusson College, em Pune, e passou quase toda a vida profissional como professor de escola em Devlali, no estado de Maharashtra.
Ele nunca fez doutorado. A matemática que o tornou conhecido nasceu em cadernos, nas horas vagas, com papel e lápis. Kaprekar gostava de propriedades curiosas dos números inteiros, o ramo que os matemáticos chamam de matemática recreativa (problemas de números feitos pelo prazer da descoberta).
A conta do 6174 foi apresentada por ele em 1949, numa conferência de matemática em Madras, hoje Chennai. A recepção foi fria. Parte dos matemáticos indianos da época tratava esse tipo de achado como passatempo de amador, sem lugar nas revistas sérias.
O registro impresso veio em 1955, na revista Scripta Mathematica, publicada pela Universidade Yeshiva, de Nova York. O texto de Kaprekar descrevia a operação e mostrava que o 6174 é o ponto em que ela trava.
O empurrão da fama veio de fora. Em março de 1975, Martin Gardner, o colunista que assinava Mathematical Games (Jogos Matemáticos) na revista Scientific American, apresentou Kaprekar e suas descobertas a milhares de leitores. A partir daí, o 6174 entrou nos livros de curiosidades e nas salas de aula.
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Kaprekar fez a descoberta numa escola de interior e esperou 26 anos para ver o 6174 correr o mundo.
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Os outros números com o nome dele
O 6174 não ficou sozinho. Kaprekar batizou os números de Kaprekar: um número cujo quadrado, cortado em duas metades, devolve o próprio número na soma. O 45 é um deles: 45 ao quadrado dá 2025, e 20 mais 25 dá 45.
Ele também criou os números harshad, palavra do sânscrito que significa grande alegria: são os que se dividem pela soma dos próprios algarismos, como 18, que se divide por 1 mais 8. E descreveu os números de Devlali, os que não podem ser escritos como um número somado aos próprios algarismos.
Kaprekar faleceu em 1986, em Devlali, aos 81 anos. A conta dos quatro algarismos ficou como o achado mais famoso dele, e é ela que está no enigma abaixo.
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II O Enigma do dia
Sete passos e nenhuma saída
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Prove que a conta de Kaprekar leva qualquer número de quatro algarismos, que não sejam todos iguais, ao 6174 em no máximo sete passos. Pergunta extra: com três algarismos, qual é o número em que a mesma conta trava?
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A força bruta (testar caso por caso, sem atalho) resolveria o enigma: são 8.991 números, e um computador doméstico roda todos em menos de um segundo. O desafio aqui é achar o atalho que dispensa a máquina.
A primeira pista está na forma da subtração. Chame os algarismos ordenados de a, b, c e d, do maior para o menor. O número grande é abcd e o pequeno é dcba, lidos como números de quatro casas.
Faça a conta na mão, casa por casa. O resultado sempre vale 999 vezes (a menos d), mais 90 vezes (b menos c). Os algarismos sozinhos não importam: só importam as duas distâncias, a do maior ao menor e a do segundo ao terceiro.
A segunda pista vem daí. A distância a menos d vai de 1 a 9, e a distância b menos c vai de 0 até a menos d. De quase 9 mil números de partida, sobram só 54 combinações possíveis depois do primeiro passo.
A terceira pista é olhar o tamanho do resultado. Como 999 e 90 são múltiplos de 9, toda resposta da conta é múltiplo de 9. Some os algarismos de 5994, 1998 ou 8082 e confira: dá 27, 27 e 18.
Para a pergunta extra, a pista é a mesma fórmula encolhida. Com três algarismos ordenados a, b e c, o meio se cancela, e a subtração vale 99 vezes (a menos c). Sobram nove resultados possíveis.
Onde a prova tropeça
A primeira armadilha é o zero da frente. De 2111 sai 2111 menos 1112, que dá 999. Quem trata o 999 como número de três algarismos se perde. A conta exige manter quatro casas: 0999, que vira 9990 menos 0999, e segue até o 6174.
A segunda é provar com exemplos. Rodar vinte números e ver todos chegarem ao 6174 não garante que o vigésimo primeiro também chega. A prova precisa cobrir as 54 combinações, uma por uma ou por um argumento que valha para todas.
A terceira é confundir passos com destino. Mostrar que o 6174 se repete prova que ele é ponto fixo (número que a conta devolve igual a si mesmo), mas não prova que todo número cai nele, nem que leva no máximo sete passos.
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Duas distâncias entre algarismos decidem a conta inteira: o resto do número desaparece na primeira subtração.
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Responda por escrito: a fórmula da subtração, a lista das combinações que sobram e o número em que a versão de três algarismos trava.
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