In partnership with

ED 031

O mês de espera que trava a conta dos coelhos

Leonardo de Pisa perguntou em 1202 quantos pares nascem em doze meses a partir de um par só, e a espera de trinta dias decide o total.

Os pares de coelhos mês a mês

▼

Por que os coelhos de Leonardo de Pisa param em 233 e não em milhares? Porque um par recém-nascido passa trinta dias sem gerar nada, e essa espera segura o crescimento num ritmo em que o total de cada mês vale a soma dos dois meses anteriores. Sem a espera, o número dobraria a cada mês e chegaria a 4.096 no décimo segundo.

Leonardo de Pisa terminou o Liber Abaci em 1202, e no meio do livro que apresentou os algarismos indo-arábicos aos comerciantes da Europa existe um exercício de criação de coelhos. Um par é posto num cercado no primeiro dia de janeiro. Cada par leva um mês para amadurecer e, a partir do segundo mês de vida, gera um novo par por mês, sem parar. Nenhum coelho sai do cercado. A pergunta pede o número de pares ao fim de doze meses.

O enunciado tem duas peças que trabalham em direções opostas. A geração mensal empurra o total para cima. A maturação de um mês segura cada par novo fora da produção pelo primeiro ciclo de vida dele. Quem ignora a segunda peça encontra uma potência de dois. Quem respeita as duas encontra outro tipo de crescimento, mais lento no começo e igualmente implacável no longo prazo.

Os totais mês a mês saem assim: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e 233. Cada valor da lista vale a soma dos dois anteriores, e a soma aparece porque os pares do mês passado continuam vivos e os pares que já tinham um mês de idade geram um filhote cada. O total do mês anterior mais o total de dois meses atrás fecha o do mês corrente.

O cercado importa menos que o mecanismo. A mesma conta aparece em problemas que nada têm de biológico, e um deles cabe numa escada de dez degraus subida com passos de um ou de dois. Contar as maneiras de subir devolve o mesmo tipo de recorrência, com números da mesma família.

Continue lendo ↓

I A resposta de ontem

Oitenta e nove maneiras de subir dez degraus

A escada de dez degraus aceita 89 subidas diferentes quando cada passo vale um degrau ou dois, e a contagem sai sem listar nenhuma delas.

Olhe apenas o último passo. Ele foi de um degrau ou de dois, sem terceira possibilidade. Se foi de um, a subida anterior terminou no nono degrau. Se foi de dois, ela terminou no oitavo. Toda subida do décimo degrau cabe em exatamente um desses dois grupos, e os grupos não se sobrepõem, porque um último passo não pode ter dois tamanhos ao mesmo tempo.

O número de subidas até o décimo degrau vale, então, o número de subidas até o nono somado ao número de subidas até o oitavo. A mesma frase vale para qualquer degrau da escada, e a contagem inteira sai de dois casos pequenos conferidos na mão. O primeiro degrau tem uma subida. O segundo tem duas, um passo duplo ou dois passos simples.

Com um e dois no começo, a lista se escreve sozinha: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. O décimo degrau fecha em 89 subidas, e nenhuma delas precisou ser desenhada. A conta troca a listagem por uma relação entre casos vizinhos.

Onde a contagem escapa

O primeiro tropeço é tentar enumerar. Dez degraus produzem 89 caminhos, e alguém paciente chega lá riscando papel. Vinte degraus produzem 10.946, e a paciência acaba antes do papel.

O segundo tropeço é somar caminhos duas vezes. Quem organiza a contagem pelo primeiro passo, sem fixar o último, costuma repetir subidas idênticas contadas por rotas diferentes de raciocínio. Fixar uma das pontas da subida, sempre a mesma, resolve a duplicação de saída.

O terceiro tropeço é achar que a resposta precisa da lista. A relação entre degraus vizinhos responde com mais alcance, porque serve para dez, para vinte e para qualquer altura que alguém invente depois.

Guarde o formato dessa solução, porque ele reaparece agora vestido de bicho. O trabalho foi cortar o problema grande em dois problemas menores da mesma natureza, e depois deixar os pequenos se somarem sozinhos.

O enigma de agora mora num cercado descrito num livro de 1202, com um par de coelhos, um calendário de doze meses e uma regra de maturação que parece detalhe de enunciado e comanda o resultado inteiro.

II O Enigma do dia

Um par no cercado, doze meses, e nenhuma dobra

Um par de coelhos entra num cercado no início de janeiro. Cada par amadurece em um mês e, a partir do segundo mês de vida, gera um novo par por mês, indefinidamente. Ninguém sai do cercado. Três perguntas, e as três pedem prova, não exemplo. Primeira: por que o total de um mês vale a soma dos dois meses anteriores? Segunda: quantos dos 233 pares do décimo segundo mês estão em idade de gerar? Terceira: o que muda no resultado se a maturação passar de um mês para dois?

As regras valem reler antes de continuar. Cada par gera exatamente um par por mês, nunca dois. A geração começa no segundo mês de vida do par, não no primeiro. O par inicial já está maduro em janeiro. Nenhum par para de gerar, e a contagem é sempre de pares, nunca de coelhos avulsos.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é multiplicar por dois. A leitura apressada transforma cada par em dois pares por mês e chega em 4.096, um número dezessete vezes maior que o correto. A maturação de trinta dias sozinha derruba o total de 4.096 para 233.

O segundo erro é misturar as duas populações. Num mês qualquer convivem pares maduros, que geram, e pares nascidos no mês anterior, que ainda não geram. Contar tudo junto num só balde apaga a distinção que produz a soma, e a conta vira chute.

O terceiro erro é começar pelo mês errado. Quem chama janeiro de mês zero e dezembro de mês doze encontra 233. Quem chama janeiro de mês um encontra 144 em dezembro e jura que a lista está furada. O enunciado de Leonardo de Pisa conta doze meses cheios de criação, e o alvo é 233.

Os pares vivos no mês anterior continuam vivos, e cada par que já tinha ao menos um mês de idade acrescenta um filhote. A quantidade de pares em idade de gerar num mês vale exatamente o total de dois meses atrás. Some as duas parcelas e a recorrência aparece, sem biologia nenhuma no meio.

Sobra a terceira pergunta, e ela separa o exercício da estrutura. Trocar a maturação de um mês por dois meses mantém o cercado, mantém a geração mensal e muda a família inteira de números que sai da conta.

Responda as três com prova. Mostre por que a soma dos dois meses anteriores fecha o mês corrente, diga quantos dos 233 pares finais já geram, e monte a nova lista com maturação de dois meses. Depois compare a curva do cercado com a potência de dois e veja quanto uma espera de trinta dias custa em doze meses.

Quem banca a edição de hoje

The Future of AI in Marketing. Your Shortcut to Smarter, Faster Marketing.

Unlock a focused set of AI strategies built to streamline your work and maximize impact. This guide delivers the practical tactics and tools marketers need to start seeing results right away:

7 high-impact AI strategies to accelerate your marketing performance
Practical use cases for content creation, lead gen, and personalization
Expert insights into how top marketers are using AI today
A framework to evaluate and implement AI tools efficiently

Stay ahead of the curve with these top strategies AI helped develop for marketers, built for real-world results.

Download the Free Report

Patrocinadores mantêm a edição gratuita

III Sequência

Monte a tabela em cinco minutos e confira o 233

O material é uma folha, uma caneta e cinco minutos. O procedimento abaixo produz a lista de doze meses na primeira tentativa, sem tentativa e erro, e termina no número que o Liber Abaci pede.

1. Faça três colunas na folha: mês, pares jovens e pares maduros. Preencha a primeira linha com janeiro, zero jovem e um maduro. O par inicial já gera no primeiro mês.

2. Escreva a regra de passagem de uma linha para a próxima. Os jovens do mês seguinte valem o número de maduros da linha atual, porque cada maduro gera um par. Os maduros do mês seguinte valem os maduros atuais somados aos jovens atuais, porque os jovens amadurecem e ninguém morre.

3. Preencha doze linhas aplicando somente essas duas regras. A coluna de maduros sai 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. A coluna de jovens sai deslocada um mês.

4. Some as duas colunas na última linha: 144 maduros mais 89 jovens dão 233 pares em dezembro. Confira o total de cada linha e veja a lista 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 aparecer inteira na margem.

"Quantos pares de coelhos são gerados por um par em um ano."

Leonardo de Pisa, Liber Abaci, 1202, na tradução de Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, 2002.

O enunciado original cabe numa linha e vive num livro de aritmética comercial, entre conversões de moeda e cálculos de lucro. O cercado nunca foi o assunto. O assunto era treinar o leitor a montar uma tabela e deixar a tabela responder.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A tabela de três colunas vale muito além do cercado. Separar uma população em quem já produz e quem ainda espera transforma um problema de crescimento numa soma de duas linhas, e a soma se resolve com caneta.

Uma espera de trinta dias derruba o total de doze meses de 4.096 para 233. O atraso de um único ciclo por indivíduo, repetido doze vezes, muda a ordem de grandeza do resultado final.

"Quantas contas do seu mês você fez dobrando, quando a espera já estava no enunciado?"

Teste hoje, em cinco minutos: monte a mesma tabela de três colunas com a maturação em dois meses no lugar de um, preencha doze linhas e anote o total de dezembro. O número cai abaixo de 100. Depois conte em quantos meses a nova lista precisa para alcançar o 233 do cercado original.