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O hotel cheio que sempre abre mais um quarto
Num hotel de infinitos quartos, cada hóspede anda uma porta e o quarto 1 fica livre, sem ninguém dormir no corredor.
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Cada hóspede anda uma porta, o quarto 1 fica vago
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Cabe mais um hóspede num hotel onde todos os quartos estão ocupados? Cabe, desde que o hotel tenha infinitos quartos, e a manobra que abre a vaga cabe numa frase do gerente.
Imagine o prédio. Um corredor sem parede final, portas numeradas 1, 2, 3 e assim sem parar. Em cada quarto dorme um hóspede, e a placa da recepção diz "lotado". Nenhuma porta do corredor está livre.
Chega um viajante de mala na mão e pede cama. Num hotel comum, a conversa acaba ali: cem quartos, cem hóspedes, nenhuma vaga. O gerente deste hotel pega o microfone e dá uma ordem só, usando a letra n (qualquer porta do corredor, seja a 3 ou a 3 milhões): quem está no quarto n muda para o quarto n+1.
O hóspede do 1 vai pro 2. O do 2 vai pro 3. O do 500 vai pro 501. Ninguém fica sem cama, porque não existe último quarto de onde alguém cairia pra fora. Cada pessoa tem uma porta seguinte esperando por ela.
Quando a mudança termina, o quarto 1 está vazio. O viajante entra, o hotel continua cheio e ninguém dormiu no corredor. A lista de hóspedes cresceu uma linha, e a placa "lotado" segue verdadeira.
A cena parece trapaça porque a intuição foi treinada com conjuntos finitos. Com cem quartos, "todos ocupados" e "cabe mais um" se contradizem. Com infinitos quartos, as duas frases convivem, e cai a crença de que cheio quer dizer sem vaga.
O truque tem uma condição dura. A ordem precisa valer para todos os quartos ao mesmo tempo, e cada hóspede anda uma porta só. Se o gerente mandasse todo mundo para "o último quarto livre", a ordem não faria sentido, porque esse quarto não existe em corredor sem fim.
A seção seguinte conta quem inventou o hotel, em que sala a história apareceu primeiro e por que a manobra do n+1 prova que um infinito pode ganhar um elemento sem ficar maior.
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I A resposta de ontem
Uma porta a mais para cada hóspede
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O hotel nasceu numa sala de aula. David Hilbert, matemático alemão da Universidade de Göttingen, usou a imagem no inverno de 1924 para 1925, numa série de palestras sobre o infinito. As notas ficaram quase noventa anos guardadas em arquivo e só saíram impressas em 2013, no volume das lições de Hilbert sobre aritmética e lógica organizado por William Ewald e Wilfried Sieg.
Quem espalhou a história foi George Gamow, físico nascido em Odessa e radicado nos Estados Unidos, no livro One Two Three... Infinity (Um, Dois, Três... Infinito), de 1947. Gamow recontou o hotel para leigos, e dali a cena passou para manuais, aulas de cálculo e palestras de divulgação.
A resposta do enigma cabe numa ideia: correspondência um a um (cada elemento de um grupo ligado a exatamente um elemento do outro, sem sobra e sem falta). Antes da mudança, os hóspedes ocupavam as portas 1, 2, 3 em diante. Depois, ocupam as portas 2, 3, 4 em diante. Cada hóspede ganhou uma porta, e cada porta a partir da 2 ganhou um hóspede.
Essa ligação perfeita mostra que "todas as portas" e "todas as portas menos a primeira" têm o mesmo tamanho. O conjunto perdeu um elemento e continuou do mesmo tamanho. Num conjunto finito, tirar um item sempre diminui a contagem; num infinito, pode não diminuir.
Um conjunto infinito cabe inteiro dentro de uma parte de si mesmo. Daí o hotel lotado sempre libera o quarto 1: os hóspedes cabem nas portas de 2 em diante sem ninguém sobrar.
Por que a intuição resiste
O incômodo é antigo. Galileu Galilei anotou em Duas Novas Ciências, de 1638, que os quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16) parecem ser poucos entre os números inteiros, e mesmo assim cada inteiro tem o seu quadrado. Galileu concluiu que palavras como "maior" e "menor" não servem para quantidades infinitas e largou o assunto.
Georg Cantor, matemático alemão da Universidade de Halle, retomou a questão a partir de 1874. Ele chamou de enumerável (que dá para pôr numa fila numerada, 1, 2, 3) todo conjunto com tantos elementos quanto os inteiros positivos, e deu a esse tamanho um símbolo, álefe-zero (a primeira letra hebraica com um zero ao pé).
Na conta de Cantor, álefe-zero mais um continua sendo álefe-zero. O hotel de Hilbert é essa soma vestida de recepção: os hóspedes antigos formam um conjunto enumerável, o viajante é o "mais um", e o hotel inteiro continua enumerável depois da chegada.
Hilbert sabia da resistência que a ideia provocava entre colegas. Leopold Kronecker, professor de Berlim, rejeitava o infinito completo como objeto de estudo. As palestras de 1924 defendiam o oposto: tratar o infinito com regras próprias, sem forçar nele a contabilidade dos hotéis de verdade.
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II O Enigma do dia
O ônibus sem fim na porta do hotel
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Três perguntas sobre um único hotel lotado. Primeira: estaciona na porta um ônibus com infinitos passageiros, numerados 1, 2, 3 em diante. Com uma única ordem pelo microfone, como o gerente hospeda todos? Segunda: chegam infinitos ônibus, cada um com infinitos passageiros. Que ordem abre vaga para todo mundo? Terceira: por que repetir a manobra do n+1 uma vez para cada passageiro não resolve o ônibus?
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As regras seguem as da recepção. Cada quarto recebe no máximo um hóspede, ninguém divide cama, ninguém espera no saguão, e a ordem vale para todos os hóspedes no mesmo instante. A resposta pedida é a regra escrita, do tipo "quem está no quarto n vai para o quarto tal", mais o destino de cada passageiro recém-chegado.
Uma pista para a primeira pergunta: pense em como esvaziar metade do corredor sem expulsar ninguém. Para a segunda, lembre que dois números primos diferentes (inteiros divisíveis só por 1 e por eles mesmos) nunca geram a mesma potência. Para a terceira, acompanhe o hóspede do quarto 1 e conte quantas vezes ele troca de porta.
Três tropeços comuns
O primeiro tropeço é mandar o hóspede do quarto n para o quarto n mais infinito. Infinito não é número de porta, e a ordem precisa apontar um quarto real, com placa na parede, para cada pessoa.
O segundo é abrir vagas uma de cada vez. Liberar o quarto 1, depois o 1 de novo, depois o 1 de novo, gasta uma mudança por passageiro, e o ônibus tem passageiros sem conta. Uma fila de ordens que nunca termina não hospeda ninguém ao cair da noite.
O terceiro é achar que cada ônibus a mais exige um hotel maior. O prédio não muda. O que muda é a regra de endereçamento, e uma regra bem escolhida encaixa infinitos grupos infinitos no mesmo corredor.
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Encher um infinito não fecha a porta. A vaga aparece quando a regra de mudança deixa um pedaço inteiro do corredor sem ninguém.
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Responda as três por escrito, com a regra completa. A ordem do ônibus, a ordem dos infinitos ônibus e o motivo de a manobra repetida falhar.
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