I  A resposta de ontem

O poema de Metrodoro

O epitáfio sobreviveu dentro da Antologia Grega, uma enorme coleção de poemas curtos reunida em Bizâncio ao longo de séculos. O livro 14 da antologia junta enigmas, oráculos e problemas de aritmética em verso.

Quase todos os problemas desse livro são atribuídos a Metrodoro, um gramático grego que viveu por volta do ano 500. Ele recolheu dezenas de charadas numéricas, muitas sobre tanques que enchem, estátuas pesadas e maçãs repartidas entre irmãos.

O de Diofanto ocupa o número 126 do livro 14. Os versos falam com o leitor como uma lápide: este túmulo guarda Diofanto, e a arte dos números revela a medida da vida dele.

O formato tinha público certo. Nas escolas gregas, o professor recitava o enigma em voz alta e os alunos disputavam quem chegava primeiro ao número. O verso ajudava a decorar o enunciado.

Metrodoro não inventou o gênero. Problemas de idade e de herança aparecem também em papiros egípcios e em tábuas da Mesopotâmia, sempre com a mesma estrutura: partes de um todo desconhecido e um resto conhecido.

A coleção quase se perdeu. O manuscrito mais completo, o Códice Palatino, foi copiado em Constantinopla por volta de 940 e só foi achado na biblioteca de Heidelberg, na Alemanha, em 1606, pelo estudioso francês Claude Saumaise.

Uma obra maior que a vida

A Aritmética de Diofanto teve sorte parecida. O autor anuncia 13 livros na introdução, e por muito tempo só seis eram conhecidos em grego. O resto parecia perdido.

Os problemas dele não pediam qualquer resposta. Diofanto buscava soluções em números racionais (frações exatas, sem decimal infinito), e hoje as equações com essa exigência levam o nome dele: equações diofantinas.

Ele também inventou abreviações. Em vez de escrever "o número desconhecido" a cada linha, usava um sinal parecido com a letra grega sigma, e outros sinais para o quadrado e o cubo. Foi um dos primeiros passos rumo à álgebra com símbolos.

A obra voltou à Europa em 1621, quando o francês Claude Gaspard Bachet de Méziriac publicou o texto grego com tradução latina. Um exemplar dessa edição caiu nas mãos de um juiz de Toulouse que estudava matemática nas horas vagas, e as margens dele mudaram a história da disciplina.

Bachet também gostava de enigmas. No mesmo período ele publicou um livro de problemas recreativos com números, e a edição da Aritmética circulou entre curiosos e matemáticos de toda a França.

II  O Enigma do dia

Seis fases e dois números soltos

O enigma parece longo e cabe numa linha. O trabalho está em traduzir cada frase do poema para um pedaço da equação, sem pular nenhuma fase.

A armadilha clássica mora na palavra "metade". Ela se refere à vida inteira do pai, e não à idade que o pai tinha quando o filho nasceu.

Para começar, separe os dados do enunciado:

• Infância: um sexto da vida.

• Até a barba: um doze avos.

• Até o casamento: um sétimo.

• Até o filho: cinco anos.

• Vida do filho: metade da vida do pai.

• Depois do filho: quatro anos.

A primeira pista: chame a idade final de x e escreva cada fase em função dele.

A segunda pista: some todas as fases e iguale a soma a x, porque as fases juntas formam a vida inteira.

A terceira pista: procure o menor número que 6, 12, 7 e 2 dividem sem resto. Ele transforma todas as frações em inteiros.

A quarta pista: descubra que fração da vida as quatro frações cobrem juntas. O que sobra tem de valer exatamente 5 mais 4 anos.

Onde a conta tropeça

A primeira armadilha é somar as frações como se fossem anos. Um sexto mais um doze avos não dá dezoito anos; dá um quarto da vida, ou seja, três doze avos.

A segunda é esquecer um dos números soltos. Quem lê depressa guarda o 5 e perde o 4 do final, e a equação deixa de ter solução inteira.

A terceira é aplicar a metade à idade errada. Se o filho vivesse metade da idade do pai no nascimento, a conta pararia num número quebrado.

A quarta é desconfiar de um resultado bonito demais. Quando x sai redondo, vale conferir fase por fase em anos inteiros antes de aceitar; se alguma fase der fração de ano, há um erro de leitura no poema.

Responda por escrito: a idade final de Diofanto, a idade no casamento e a idade em que o filho nasceu.

III  Sequência

Oitenta e quatro, fase por fase

Diofanto viveu 84 anos e se casou aos 33. A solução anda em quatro passos:

1. A equação fica x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x.

2. O mínimo múltiplo comum de 6, 12, 7 e 2 é 84, e multiplicando tudo por 84 sai 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x.

3. Juntando os termos, 75x + 756 = 84x, então 9x = 756.

4. Dividindo 756 por 9, sobra x = 84.

Com o número em mãos, a vida se desenrola em anos inteiros. Infância de 14 anos; barba aos 21; casamento aos 33; filho aos 38.

O filho vive 42 anos, metade de 84, e parte quando o pai tem 80. Quatro anos depois, o pai completa os 84. Somando as fases, 14 mais 7 mais 12 mais 5 mais 42 mais 4 dá 84, sem folga.

Há um atalho mais curto. As quatro frações somam 75/84 da vida, e o que sobra, 9/84, tem de ser os 9 anos soltos (5 mais 4). Um oitenta e quatro avos vale um ano, logo a vida tem 84.

As margens de Fermat

O juiz de Toulouse se chamava Pierre de Fermat. Lendo o problema 8 do livro 2 da Aritmética, que pede para dividir um quadrado em dois quadrados, ele anotou na margem que o mesmo era impossível para cubos e potências maiores.

Fermat escreveu em latim: "Descobri uma demonstração admirável disso, mas esta margem é estreita demais para contê-la" (Pierre de Fermat, nota na Aritmética de Diofanto, publicada em 1670).

O filho dele, Samuel, imprimiu as notas numa edição nova da Aritmética em 1670. A frase da margem virou o Último Teorema de Fermat e só foi provada em 1995, por Andrew Wiles.

“Com quantos anos Diofanto viu nascer o filho?”

Casamento aos 33, mais os cinco anos do poema: o filho nasceu quando Diofanto tinha 38.

Teste hoje: escreva a sua idade como soma de frações, um sexto para a infância, um doze avos para a adolescência e assim por diante, e entregue o enunciado a alguém da casa. Se a pessoa chegar à sua idade em menos de cinco minutos, o enigma está bem montado; se travar, falta um número solto. A Aritmética anunciava 13 livros, e só seis circularam em grego por séculos.

No epitáfio de Diofanto, que número aparece ao mesmo tempo como o menor múltiplo comum dos denominadores das frações (6, 12, 7 e 2) e como a idade final dele?

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