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ED 040

O enxame que Bhaskara escondeu numa raiz

O Lilavati, tratado indiano de 1150, só entrega o total de abelhas para quem aceita tirar a raiz de metade do enxame.

Enxame de abelhas sobre flor de lótus fechada ao anoitecer, num jardim indiano.

Abelhas sobre o lótus que fechou ao anoitecer

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Por que um livro de matemática pediria a raiz quadrada de metade de um enxame, quando ninguém tira raiz de bicho vivo? Porque a raiz é o esconderijo: ela guarda o total dentro da própria pergunta e obriga quem responde a montar a conta pelo avesso. O enxame do poema tem 72 abelhas.

A charada está no Lilavati (a graciosa, nome da personagem a quem o autor se dirige ao longo do livro), primeiro capítulo do Siddhanta Shiromani (Coroa dos Tratados), escrito por Bhaskara II por volta de 1150, na cidade de Ujjain, onde ele dirigiu o observatório astronômico. O livro inteiro é versificado, e o aluno decorava o verso antes de entender a conta.

O verso das abelhas reparte o enxame em três porções. A raiz quadrada da metade voa para um pé de jasmim. Oito nonos do total ficam no lugar de origem. Sobra uma abelha zumbindo dentro de um lótus fechado, e um macho preso lá dentro com ela desde a noite anterior. As três porções somadas devolvem o enxame inteiro.

Confira com 72 na mão. A metade dá 36, a raiz quadrada de 36 dá 6 abelhas no jasmim. Oito nonos de 72 dão 64 abelhas paradas. O casal do lótus soma 2. Seis mais 64 mais 2 fecha exatamente 72, e nenhum outro número inteiro fecha.

A elegância do enunciado está em pedir uma raiz dentro de uma soma. Fração de um total é fácil de isolar; raiz de um total não é. Bhaskara resolve trocando o enxame por um quadrado: se a raiz da metade vale um certo número, a metade vale o quadrado desse número, e o enxame vale o dobro do quadrado. A charada vira uma equação de segundo grau em disfarce de poema.

O mesmo Lilavati traz uma charada de abelhas mais simples, que se resolve só com frações e serve de aquecimento para a do jasmim.

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I A resposta de ontem

Quinze abelhas em quatro pousos

Bhaskara II abre o verso 54 do Lilavati com um enxame repartido em quatro destinos. A quinta parte pousa num kadamba (árvore indiana de flor alaranjada em bola). A terça parte pousa num silindhri (planta de flor arroxeada). O triplo da sobra de uma porção sobre a outra voa para um kutaja (arbusto de flor branca e casca amarga). Uma única abelha fica no ar, puxada pelo cheiro de dois jasmins ao mesmo tempo. Quantas abelhas tinha o enxame, e como provar que não existe segunda resposta?

Comece pelo denominador comum. Um quinto e um terço convivem mal até você escrever os dois em quinze avos: a quinta parte vira 3 de 15, a terça parte vira 5 de 15.

A sobra de uma porção sobre a outra dá 2 de 15, e o triplo dela dá 6 de 15. Some as três porções: 3 mais 5 mais 6 dá 14 de 15 do enxame. O que falta para completar o total é 1 de 15, e o verso diz que o que falta é exatamente uma abelha.

Uma abelha valendo um quinze avos do enxame entrega o total num passo: 15 abelhas. A prova é a volta. Três pousam no kadamba, cinco no silindhri, seis no kutaja, uma fica no ar, e a soma fecha em 15.

A charada nunca informa o total, informa a proporção. Toda porção citada vale uma fatia do bolo, e a única quantidade absoluta do verso é a abelha solitária. Casar a fatia que sobrou com o número que sobrou resolve tudo.

Onde a conta escorrega

O primeiro tropeço é somar as frações erradas e chegar a mais de um inteiro. Quem lê "o triplo" como triplo do enxame, e não triplo da sobra entre as duas porções, produz um enxame com 200% das abelhas dentro dele.

O segundo tropeço é testar números de dez em dez. O enxame com 30 abelhas devolve 6, 10 e 12, que somam 28, e deixa duas abelhas no ar quando o verso admite só uma. Cada tentativa custa três multiplicações e não prova unicidade.

O terceiro tropeço é aceitar resultado fracionário. Qualquer total que não seja múltiplo de 15 produz abelha partida ao meio no kadamba ou no silindhri, e enxame nenhum voa pela metade.

A resposta é única porque a fatia que sobra é fixa: um quinze avos do enxame equivale a uma abelha, e só um número satisfaz a igualdade. Guarde o mecanismo, porque a charada do jasmim exige o mesmo raciocínio com um degrau a mais, a raiz.

II O Enigma do dia

Seis no jasmim, 64 paradas, duas no lótus

A raiz quadrada da metade de um enxame voou para um pé de jasmim. Oito nonos do enxame ficaram para trás. Uma abelha zumbe dentro de um lótus que fechou à noite, com um macho preso ao lado dela. Três perguntas, e as três pedem prova escrita, não palpite. Primeira: quantas abelhas tem o enxame? Segunda: que duas condições o enunciado impõe ao total antes de qualquer conta, e por que a segunda solução da equação é jogada fora? Terceira: se o lótus guardasse três abelhas no lugar de duas, existiria enxame inteiro que resolvesse o verso?

As regras valem reler. Toda abelha citada pertence ao mesmo enxame, sem reforço externo. As três porções somadas devolvem o total, nenhuma abelha aparece em duas porções, e a resposta pedida traz o número com a conta de verificação ao lado.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é atacar a raiz de frente. Quem tenta isolar a raiz quadrada de um lado e elevar tudo ao quadrado do outro produz uma equação de quarto grau e se perde em raízes falsas. Nomear a raiz como um número novo, e escrever o enxame como o dobro do quadrado dele, derruba o grau da conta pela metade.

O segundo erro é esquecer que oito nonos precisam ser abelhas inteiras. O total tem de ser divisível por 9, o que elimina de cara qualquer candidato fora dessa lista. A metade também precisa ser um quadrado perfeito, porque a raiz dela conta abelhas no jasmim.

O terceiro erro é aceitar as duas soluções da equação de segundo grau. A conta devolve um valor positivo e um negativo, e o negativo descreve um enxame com quantidade negativa de abelhas. Bhaskara II descarta a raiz negativa em outra passagem do tratado, porque a gente comum não aprova o resultado.

O poema não é enfeite do problema, é a embalagem que segura três informações incompatíveis na memória de quem não tinha papel barato. Jasmim, lótus e o enxame parado são três marcadores de porção. O verso decorado carrega a conta inteira sem nenhum símbolo escrito.

Responda as três com prova. Escreva o total do enxame com a verificação das três porções, liste as duas condições que o enunciado impõe ao total, e diga se o lótus com três abelhas ainda admite enxame inteiro.

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III Sequência

O caderno, a raiz e o lótus fechado

O material é uma folha, um lápis e dez minutos. O procedimento abaixo resolve qualquer charada de enxame com raiz de fração do total, sem tentativa jogada fora.

1. Nomeie a raiz, nunca o enxame. Chame de r o número de abelhas do jasmim, que é a raiz da metade. A metade do enxame vale r vezes r, e o enxame inteiro vale duas vezes r vezes r. Toda a charada passa a falar de r.

2. Escreva a soma das porções nessa moeda. As abelhas paradas são oito nonos de duas vezes r vezes r, o casal do lótus vale 2, e o jasmim vale r. A soma precisa devolver duas vezes r vezes r.

3. Limpe os denominadores e resolva o segundo grau. Multiplique tudo por 9 e agrupe: sobram dois r ao quadrado, menos nove r, menos 18, igual a zero. As soluções são 6 e menos um e meio. A negativa descreve enxame impossível e sai da mesa.

4. Volte da raiz ao enxame e confira. Com r valendo 6, o enxame vale duas vezes 36, ou 72. Seis abelhas no jasmim, 64 paradas, duas no lótus, soma 72. Se o segundo grau não devolver raiz inteira e positiva, o verso não descreve enxame nenhum.

"A raiz quadrada da metade de um bando de abelhas voou para um arbusto de jasmim; oito nonos do todo ficaram para trás; uma abelha fêmea voa em torno de um macho que zumbe dentro de um lótus, atraído de noite pela fragrância e aprisionado. Dize, ó encantadora, o número de abelhas."

Lilavati, Bhaskara II, 1150, na tradução inglesa de Henry Thomas Colebrooke, publicada em Londres em 1817.

O terceiro caso do enunciado, com três abelhas no lótus, não tem resposta inteira. Refazendo o passo 3 com 3 no lugar de 2, o segundo grau devolve raízes irracionais, e o jasmim receberia fração de abelha. Uma unidade trocada no verso destrói a charada, e o casal preso no lótus é engenharia, não enfeite poético.

O Lilavati atravessou seis séculos e três línguas nesse formato. Em 1587, por ordem do imperador Akbar, o poeta Faizi traduziu o tratado para o persa, e foi por essa ponte que a matemática indiana chegou às bibliotecas europeias antes de Colebrooke verter o texto para o inglês.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

O mesmo tratado guarda a charada do pavão e da serpente: a ave no alto de um pilar de nove côvados, a toca no pé do pilar, a serpente rastejando para casa a vinte e sete côvados dali. O bote acontece a doze côvados do pilar, porque o voo de quinze é a hipotenusa dos catetos nove e doze, e quinze é o trecho que a serpente andou.

O truque de Bhaskara II vale longe de qualquer enxame. Quando a incógnita aparece dentro de uma raiz, batize a raiz e deixe a incógnita original para o fim. O problema encolhe de grau, a conta cabe em quatro linhas, e a resposta sai com a verificação junto.

"Quantas contas você abandonou por atacar a pergunta pela ponta mais grossa?"

Teste hoje, em dez minutos: escreva os números de 1 a 40 e circule os que são o dobro de um quadrado perfeito, ou seja 2, 8, 18, 32. Depois risque os que não são divisíveis por 9. Cronometre e repita com os números de 41 a 80, onde 72 aparece sozinho. Na primeira rodada você gasta perto de dois minutos; na segunda, com as duas condições na cabeça, o filtro sai em menos de quarenta segundos. A queda no cronômetro mede o instante em que a condição virou reflexo.