I  A resposta de ontem

Oferendas de madeira nos templos

O sangaku de Gunma de 1824 pertence a uma tradição que floresceu no período Edo (1603 a 1867), quando o Japão foi governado pelos xóguns da família Tokugawa (chefes militares que mandavam no lugar do imperador) e manteve as fronteiras quase fechadas.

Sem contato regular com a Europa, a matemática japonesa cresceu sozinha. Escolas particulares ensinavam wasan a samurais, comerciantes e camponeses, e há tábuas assinadas por mulheres e por meninos.

O nome mais conhecido dessa tradição é Seki Takakazu, que viveu até 1708. Ele chegou aos determinantes (uma conta feita com tabelas de números para resolver sistemas de equações) em 1683, uma década antes de Gottfried Leibniz escrever sobre o mesmo método na Europa.

Como uma tábua ia parar no templo

O costume de pendurar madeira nos santuários já existia: os ema, plaquinhas com pedidos escritos ou pintados, aparecem até hoje nos templos xintoístas. Os sangaku usaram o mesmo suporte para outra oferenda, um problema resolvido.

Uma tábua padrão trazia quatro elementos:

• A figura, pintada em cores.

• O enunciado, com os dados conhecidos.

• A resposta, em fórmula ou número.

• O nome do autor e a data da oferenda.

O enunciado vinha em kanbun (o chinês clássico usado nos textos eruditos japoneses), e a demonstração ficava de fora quase sempre.

Havia motivo prático e havia vaidade. A tábua anunciava a escola do autor, atraía alunos e lançava um desafio às escolas rivais. Alguns visitantes respondiam pendurando outra tábua, com a solução ou com um problema mais difícil.

Quantas sobraram

Madeira ao ar livre apodrece, pega fogo e some em reformas. O matemático japonês Fukagawa Hidetoshi passou décadas catalogando as que restaram. No livro Sacred Mathematics (2008), escrito com o físico americano Tony Rothman, os dois contam cerca de 900 sangaku sobreviventes.

Muitos problemas só se conhecem por cópia. Em 1789, Fujita Kagen publicou o Shinpeki Sanpō (problemas de matemática pendurados nos templos), uma coletânea de enunciados tirados das tábuas, e assim salvou figuras cujas originais já não existem.

A de Gunma é uma das mais citadas desse catálogo, porque a regra pintada nela tem nome europeu. A figura mostra uma reta horizontal, dois círculos grandes apoiados nela e encostados um no outro, e um terceiro círculo pequeno encaixado no vão entre os dois e a reta.

O enunciado pede o raio do pequeno a partir dos raios dos grandes. A resposta pintada dá a regra geral, sem um número sequer de exemplo.

II  O Enigma do dia

Três círculos sobre uma reta

Os números foram escolhidos para a conta dar valores redondos. Se ajudar, imagine duas moedas de tamanhos diferentes, de pé sobre a mesa, encostadas uma na outra. Embaixo, entre elas, sobra uma fresta em forma de triângulo curvo. A pergunta é o tamanho da maior moeda que cabe ali, tocando as duas e a mesa.

O que a tábua entrega

A regra pintada em Gunma, escrita em notação de hoje, diz: um dividido pela raiz do raio pequeno é igual a um dividido pela raiz do primeiro raio grande, mais um dividido pela raiz do segundo.

Em símbolos: 1/√r = 1/√R1 + 1/√R2, em que √ é a raiz quadrada, r é o raio procurado e R1 e R2 são os raios dos círculos grandes.

As pistas

1. Primeira pista: as raízes quadradas de 4 e de 9 são números inteiros. Comece por elas.

2. Segunda pista: some as frações resultantes usando 6 como denominador comum.

3. Terceira pista: a soma dá 1 dividido pela raiz do raio procurado. Inverta a fração e eleve ao quadrado.

4. Quarta pista: confira o tamanho. O pequeno precisa ser menor que os dois grandes, e bem menor que o de raio 4.

Pergunta extra para quem gosta de desenhar: a que distância ficam, sobre a reta, os dois pontos onde os círculos grandes encostam nela?

Para essa, pense no triângulo retângulo formado pelos dois centros e pela reta. A hipotenusa liga os centros e mede a soma dos raios; um dos catetos mede a diferença entre eles.

Onde a conta escorrega

O primeiro escorregão é tirar a média dos raios. Dá 6,5, um círculo que nem cabe no vão; a resposta precisa ser menor que 4.

O segundo é esquecer a raiz e usar 1/r = 1/4 + 1/9. Dá 36/13, cerca de 2,77, grande demais: esse círculo invadiria os dois vizinhos.

O terceiro é parar no meio do caminho. Quem acha 5/6 e anota como raio esqueceu de desfazer duas operações, a inversão e a raiz.

Escreva a resposta antes de seguir: o raio do círculo pequeno e a distância entre os dois pontos de apoio.

III  Sequência

Um raio de 1,44

O círculo pequeno tem raio 36/25, ou 1,44. A conta, passo a passo:

1. Raízes: √4 = 2 e √9 = 3.

2. Soma: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

3. Inversão: √r = 6/5, ou 1,2.

4. Quadrado: r = 1,2 × 1,2 = 1,44.

A pergunta extra: os pontos de apoio ficam a 12 de distância. A hipotenusa mede 4 + 9 = 13, o cateto vertical mede 9 menos 4, ou 5, e o horizontal sai pelo teorema de Pitágoras: 169 menos 25 dá 144, cuja raiz é 12.

A prova que a tábua não trouxe

Repare que 12 é o dobro de √(4 × 9). Vale sempre: dois círculos de raios R1 e R2, apoiados na reta e encostados, tocam o chão a uma distância de 2√(R1 × R2).

Aplique a mesma conta aos pares formados por cada grande com o pequeno. As duas distâncias somadas dão a distância total entre os grandes. Divida a igualdade por 2√(R1 × R2 × r) e aparece a regra pintada em Gunma. São três linhas de álgebra, e a tábua não escreveu nenhuma.

A tábua também não registra o método do autor, e nenhum caderno com a demonstração original foi identificado. Assim, não se sabe se ele usou os triângulos ou outro caminho; sabe-se só a resposta pintada, e ela confere.

O parentesco com Descartes

Em novembro de 1643, René Descartes respondeu por carta a uma pergunta da princesa Isabel da Boêmia: dados três círculos que se tocam, qual é o raio de um quarto que toca os três? A resposta dele, reescrita em notação moderna, liga as curvaturas, isto é, o inverso de cada raio.

A reta entra nessa regra como um círculo de raio infinito, de curvatura zero. Ponha zero no lugar dela e a fórmula de Descartes vira exatamente a da tábua de Gunma.

Em 1936, o químico inglês Frederick Soddy, Nobel de Química de 1921, redescobriu a relação e a publicou na revista Nature em forma de poema. Daí o nome teorema de Descartes e Soddy, usado até hoje.

“For pairs of lips to kiss maybe / Involves no trigonometry” (para dois lábios se beijarem, talvez não seja preciso trigonometria), Frederick Soddy, The Kiss Precise, Nature, 1936.

“Qual é o raio do círculo encaixado entre os de raio 4 e 9?”

1,44, ou 36/25: um dividido pela raiz dele é a soma de 1/2 com 1/3.

Teste hoje: numa folha, trace uma reta e, com o compasso, desenhe dois círculos de raio 2 cm e 4,5 cm apoiados nela e encostados. Os pontos de apoio devem ficar a 6 cm um do outro, e o círculo do vão deve ter 0,72 cm de raio, pouco mais de 7 milímetros. Meça e anote quantos milímetros o seu desenho errou.

Segundo o catálogo de Fukagawa Hidetoshi, quantas tábuas sangaku sobreviveram até hoje?

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