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O bote de uma vaga e três cargas na margem
Lobo, cabra e couve esperando do mesmo lado do rio, um bote que carrega um por vez, e duas duplas que não podem ficar sozinhas.
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Um bote de uma vaga esperando na margem
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Por volta do ano 800, na corte de Carlos Magno, um mestre vindo da Inglaterra reuniu cerca de cinquenta problemas de raciocínio numa coleção com título direto ao ponto: Propositiones ad acuendos juvenes, proposições para aguçar os jovens. Alcuíno de York não estava escrevendo manual de aritmética de mercador. Estava montando ginástica mental deliberada para quem ainda aprendia a pensar, num tempo em que a escola do palácio precisava formar administradores de um império recém-costurado.
A coleção é mais estranha e mais divertida do que o nome latino sugere. Tem herança dividida entre viúva e filhos, tem escada com degraus e pombos, tem boi arando o campo. Vários enunciados terminam numa frase seca pedindo a solução, e alguns vinham sem resposta nenhuma no manuscrito, deixados de propósito para o aluno suar.
Um punhado deles pertence a uma família que sobreviveu mil e duzentos anos praticamente intacta: os problemas de travessia. A estrutura é sempre a mesma. Existe um rio, existe um barco pequeno demais, existem cargas que não se dão bem entre si, e existe alguém que precisa levar tudo para o outro lado sem prejuízo.
Repare no que essa família tem de peculiar. A dificuldade não é aritmética. Ninguém precisa somar, dividir ou tirar raiz. A dificuldade é de ordem, de sequência, de decidir quem vai primeiro e, principalmente, de aceitar que às vezes o movimento certo anda para trás. Um problema de travessia pune quem só sabe avançar.
E é justamente aí que a maioria trava. Voltar com o bote vazio todo mundo aceita, porque o barqueiro tem que estar no remo. Voltar com uma carga a bordo, desfazendo trabalho que já parecia pronto, parece desperdício puro. Parece, e não é.
Antes do rio, fica de pé a cozinha das duas ampulhetas, uma de sete minutos e outra de onze, sem relógio na parede, com a fervura precisando fechar em quinze minutos contados desde o instante em que o ovo entrou na água.
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I A resposta de ontem
Quinze minutos com dois vidros e nenhum relógio
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A receita cabe em três viradas e nenhuma delas exige esperar antes de começar. Vire as duas ampulhetas juntas no minuto zero, no mesmo gesto em que o ovo entra na panela. As duas partem cheias, e a fervura já está sendo contada desde o primeiro segundo.
No minuto sete, o vidro pequeno esvazia. Vire ele na hora. Ele recomeça do zero enquanto o vidro grande ainda tem quatro minutos de areia para escoar, e essa coincidência é a peça inteira do enigma.
No minuto onze, o vidro grande esvazia. Nesse instante o pequeno já deixou cair exatamente quatro minutos da sua segunda passada. Vire o pequeno sozinho: ele agora tem quatro minutos de areia em cima, e só quatro. Quando terminar, o relógio da panela marca quinze. Tire o ovo nesse traço.
O número quatro nunca esteve escrito em vidro nenhum. Ele foi fabricado pela diferença entre os dois, ficou guardado dentro da ampulheta pequena por um instante, e quem virou o vidro na hora certa conseguiu gastá-lo. Quem virou tarde jogou fora sem saber que tinha.
Os erros comuns são três, e vale reconhecer cada um. O primeiro é somar: onze mais sete dá dezoito, não dá quinze, e a conclusão apressada é que a tarefa não fecha. O segundo é montar a diferença antes da hora: quatro mais onze também dá quinze, só que essa rota gasta os primeiros quatro minutos fabricando a sobra, e o ovo entraria na água no minuto quatro, não no zero. A aritmética fecha e a receita não.
O terceiro erro é o mais cruel porque acontece com quem já entendeu tudo. É virar um vidro alguns segundos depois do momento exato. Uma ampulheta parada, com areia repartida entre os dois bulbos, guarda uma duração precisa dentro dela, e essa duração evapora no instante em que você deixa de aproveitá-la.
Repare no formato da solução, porque ele volta hoje com outra roupa. Não havia nenhum passo criativo, nenhuma manobra escondida. Havia uma lista curta de instantes em que algo acontecia, e a decisão sobre o que fazer em cada um deles. O trabalho todo era enxergar os instantes.
O enigma de hoje troca minutos por margens, e a exigência continua a mesma. Em vez de instantes de virada, você vai ter viagens de ida e de volta. Em vez de areia, cargas que não podem ficar sozinhas. E, de novo, o movimento que resolve é aquele que parece jogar trabalho fora.
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II O Enigma do dia
O barqueiro, o bote pequeno e duas duplas proibidas
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Um homem precisa levar para a outra margem de um rio um lobo, uma cabra e um feixe de couve. O bote comporta apenas o barqueiro e uma carga por viagem. Se o lobo ficar sozinho com a cabra, a cabra some. Se a cabra ficar sozinha com a couve, a couve some. Como atravessar os três inteiros?
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As condições são exatamente estas e não escondem armadilha nenhuma. O bote é o único meio de passar, e nenhuma das três cargas sabe nadar. O barqueiro sempre vai no remo, então nenhuma viagem acontece sem ele a bordo. O lobo não come a couve, e a presença do barqueiro em qualquer margem basta para segurar a paz naquela margem.
Uma condição costuma passar despercebida e derruba metade das tentativas. O perigo mora na margem onde o barqueiro não está. Enquanto ele rema, a margem que ele deixou fica sem vigia, e é ali, e só ali, que a dupla proibida faz estrago. Verificar apenas a margem de chegada é o começo do fracasso.
Onde quase todo mundo trava
O primeiro erro é escolher a carga errada na viagem de abertura. Comece pelo lobo e a cabra fica sozinha com a couve. Comece pela couve e a cabra fica sozinha com o lobo. Duas das três aberturas possíveis já perdem no minuto um, antes de qualquer plano existir.
O segundo erro é tratar o bote vazio como desperdício. Toda volta que o barqueiro faz sozinho parece tempo jogado fora, e a vontade de otimizar leva a inventar viagem dupla, corda, ou algum truque de amarrar a cabra numa árvore. O enunciado não oferece nada disso.
O terceiro erro é o interessante, e é ele que separa quem fecha de quem fica remando em círculos. É recusar a viagem de volta com carga. Levar uma carga para a outra margem e trazer ela de volta soa como confissão de fracasso, um passo que apaga o passo anterior. Sem esse passo, nenhuma sequência funciona.
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Num problema de travessia, a volta com carga a bordo não desfaz progresso, ela troca de progresso. Você devolve uma peça à margem de partida para poder tirar de lá outra que estava travada. É a mesma sobra da ampulheta com outro nome.
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Pense no que está disponível. São três cargas, duas margens e um bote de uma vaga. As posições possíveis do sistema inteiro são poucas, contáveis nos dedos, e a maioria delas é proibida pelas duas regras de convivência. O caminho legal entre a posição inicial e a final é estreito, e por ser estreito ele é achável no papel.
A pergunta pede a sequência completa, viagem por viagem. Diga qual carga sai na primeira viagem, o que volta em cada retorno, e quantas travessias a operação inteira exige do começo ao fim, contando ida e volta como viagens separadas. Uma resposta que só diga a ordem final das cargas não fecha o enigma.
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