I  A resposta de ontem

O capítulo da base e da altura

Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, em chinês Jiuzhang Suanshu, reúnem 246 problemas resolvidos, organizados em nove partes por assunto. O texto ganhou a forma conhecida durante a dinastia Han, por volta do ano 100, juntando material mais antigo de escribas e funcionários do império.

Os capítulos seguem a vida prática da administração: medir campos, trocar grãos, repartir impostos, cavar canais, calcular obras. Cada problema vem em três partes fixas: a pergunta, a resposta e o método, a receita para fazer a conta em qualquer caso parecido.

O nono capítulo se chama Gougu (base e altura, os dois lados menores do triângulo retângulo). Gou (base) é o lado curto, gu (altura) é o lado comprido, e a diagonal entre os dois ganha o apelido de xian (corda, como a de um arco esticado).

O capítulo abre com a regra central: somar o quadrado da base ao quadrado da altura e tirar a raiz para achar a corda. É o teorema atribuído a Pitágoras no Ocidente, escrito como receita de cálculo, sem demonstração geométrica no texto original.

São 24 problemas no Gougu, e o bambu quebrado é o décimo terceiro. Os vizinhos dele tratam de um junco no meio de um lago, de uma corda pendurada num poste e de uma porta medida com uma vara.

O comentário de Liu Hui

O livro chegou até hoje com as notas de Liu Hui, matemático chinês do reino de Wei, que terminou seu comentário em 263. Liu Hui justificava as receitas com figuras recortadas e montadas de novo, num método conhecido como entrada e saída: tirar pedaços de um quadrado e encaixá-los em outro sem perder área.

No prefácio, ele resume o espírito do livro numa imagem de árvore:

“Embora os galhos se separem, saem do mesmo tronco” (Liu Hui, prefácio ao comentário dos Nove Capítulos, 263, tradução livre).

A frase serve de mapa para o Gougu. Junco, corda, porta e bambu parecem problemas diferentes, mas descansam todos no mesmo triângulo, com uma soma ou uma diferença no lugar de um dos lados.

A unidade também conta a história. O chi da dinastia Han media perto de 23 centímetros, pelos padrões de medida em bronze da época guardadas em museus chineses, então o bambu do problema tinha cerca de 2,3 metros. Era uma haste de jardim, nada de floresta gigante.

Os Nove Capítulos serviram de livro-texto oficial na China por mais de mil anos e chegaram à Coreia e ao Japão como base do ensino de cálculo. Yang Hui, matemático da dinastia Song, retomou os problemas num comentário de 1261, e o bambu quebrado seguiu junto.

II  O Enigma do dia

Dez chi e uma ponta no chão

O enunciado acima segue o décimo terceiro problema do Gougu, numa tradução próxima do chinês clássico. O texto original cabe em uma linha e não traz desenho: o leitor tinha de montar a figura na cabeça.

Para começar, separe os dados:

• Altura inteira do bambu: 10 chi.

• Da raiz até a ponta caída: 3 chi.

• Toco em pé: valor pedido.

• Parte tombada: o resto dos 10 chi.

A primeira pista: desenhe o triângulo. O toco fica em pé, o chão fica deitado, e a parte tombada liga o alto do toco à ponta no chão. O canto entre toco e chão tem 90 graus.

A segunda pista: chame o toco de x. A parte tombada não precisa de medida própria; ela vale 10 menos x, porque toco e parte tombada somam a haste inteira.

A terceira pista: aplique a regra do Gougu. O quadrado do toco mais o quadrado da distância no chão tem de dar o quadrado da parte tombada.

A quarta pista: ao abrir o quadrado de 10 menos x, um termo com x ao quadrado aparece dos dois lados da igualdade. Corte os dois, e a conta vira uma equação simples, de primeiro grau.

Onde a conta escorrega

O primeiro escorregão é tratar a parte tombada como 10 chi. O bambu inteiro mede 10; a parte que tomba é só um pedaço dele. Usar a haste inteira como diagonal dá um toco de 9,54 chi, e somado aos 10 da diagonal passa de 19 chi de bambu.

O segundo é chutar a metade. Partir em 5 e 5 deixaria a ponta colada no pé, a 0 chi da raiz: com toco e parte tombada do mesmo comprimento, a parte de cima dobraria inteira sobre a de baixo.

O terceiro é esquecer o ângulo reto. O bambu cresce na vertical e o chão é plano; sem o canto de 90 graus, a regra do Gougu não vale e a conta fica sem saída.

O quarto é arredondar. A resposta do livro vem com fração exata, em vigésimos de chi, e um palpite de 4 ou 5 inteiros passa longe do texto.

Responda por escrito: a altura do toco em chi, em fração e em decimal, e o comprimento da parte tombada.

III  Sequência

Quatro chi e onze vigésimos

O toco fica a 4,55 chi do chão, ou 4 chi e onze vigésimos, como os Nove Capítulos escrevem. A parte tombada mede 5,45 chi. A solução anda em quatro passos:

1. Toco e parte tombada: x e 10 menos x.

2. Regra do Gougu: x² + 9 = (10 menos x)², ou x² + 9 = 100 menos 20x mais x².

3. Corte o x² dos dois lados: 9 = 100 menos 20x, então 20x = 91.

4. Divida: x = 91 ÷ 20 = 4,55 chi. A prova: 4,55 ao quadrado mais 9 dá 29,7025, igual a 5,45 ao quadrado.

Num bambu de 2,3 metros, a fratura fica perto de 1,05 metro do chão, um pouco abaixo da metade da haste.

A receita do livro

Os Nove Capítulos chegam ao mesmo número sem letra nenhuma. O método escrito manda multiplicar por si mesma a distância da raiz até a ponta, dividir pela altura do bambu, tirar o resultado da altura e partir o resto ao meio.

Com os números do problema: 3 vezes 3 dá 9; 9 dividido por 10 dá 0,9; 10 menos 0,9 dá 9,1; metade de 9,1 dá 4,55. Quatro operações feitas com varetas de cálculo, as varinhas de bambu que os escribas chineses dispunham sobre a mesa para contar.

A receita vale para qualquer bambu. Liu Hui a justificou com a figura: a parte tombada menos o toco, multiplicada pela soma dos dois, dá o quadrado da distância no chão. Como a soma é a altura inteira, a diferença sai de uma divisão, e o toco vem da metade do que sobra.

O mesmo bambu viajou. Bhaskara II, matemático indiano, incluiu no Lilavati, tratado de aritmética de 1150, um bambu de 32 côvados quebrado pelo vento, com a ponta caída a 16 côvados da raiz; a fratura fica a 12 côvados do chão.

Ninguém sabe se o problema chegou da China pelo comércio ou se nasceu de novo na Índia. O Lilavati não cita fonte, e a passagem entre os dois países não deixou registro escrito.

“A que altura quebrou o bambu de 10 chi?”

A 4,55 chi do chão, pela receita dos Nove Capítulos: o quadrado de 3, dividido por 10, tirado de 10 e partido ao meio.

Teste hoje: pegue um palito de churrasco de 25 centímetros e dobre-o sem separar as partes, até a ponta tocar a mesa a 7,5 centímetros do pé. Meça a altura da dobra com uma fita métrica. A receita prevê 11,4 centímetros; acertar com margem de 3 milímetros confirma a conta do livro com as próprias mãos.

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EDIÇÃO SELADA

Quem leu até aqui tem mais um achado desta edição atrás do lacre.

No problema do bambu quebrado dos Nove Capítulos, com a haste de 10 chi e a ponta tocando o chão a 3 chi da raiz, a que altura fica a fratura segundo a resposta do livro?

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