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I  A resposta de ontem

Mil dólares travados por uma soma que não muda

A sequência premiada não existe. Nenhum deslize leva a caixa com o 14 e o 15 invertidos até a ordem crescente, e a prova cabe em duas contas feitas sem encostar numa peça.

Escreva a posição das quinze peças numa linha só, da esquerda para a direita e de cima para baixo, ignorando o espaço vazio. Conte quantas trocas de duas peças levam essa linha até a ordem crescente. No tabuleiro do prêmio, uma única troca resolve: o 14 volta para o lugar do 14, o 15 para o lugar do 15. Uma troca, número ímpar.

Agora conte quantas casas o vazio precisa andar. Ele começa no canto inferior direito e termina no canto inferior direito, então anda zero casa, ou qualquer número par de casas se der voltas pelo tabuleiro. Some as duas contas: ímpar mais par continua ímpar.

Cada deslize troca uma peça com o vazio, e uma troca de dois elementos inverte a paridade da linha. No mesmo movimento o vazio anda uma casa e inverte a paridade da distância dele até o canto. As duas inversões acontecem juntas, sempre, então a soma delas nasce par e morre par. A posição do prêmio nasce ímpar e nunca alcança o alvo.

Onde a solução realmente escapa

O primeiro tropeço é procurar a resposta na sequência de movimentos. Enquanto a atenção fica nos empurrões, a trava permanece invisível, porque ela não mora em nenhum movimento isolado, mora naquilo que todo movimento respeita.

O segundo tropeço é aceitar o cansaço como prova. Duas horas de tentativa produzem a sensação de impossível e nenhuma certeza. A certeza custa cinco minutos de contagem.

O terceiro tropeço é achar que uma resposta precisa ser um caminho. Provar que caminho nenhum existe também responde, e com mais alcance: descarta as tentativas já feitas e todas as que alguém inventaria depois.

Guarde o formato dessa solução, porque ele volta agora vestido de outro jeito. O trabalho foi achar uma quantidade que o problema carrega de graça, verificar que movimento nenhum a altera, e comparar o começo com o alvo.

O enigma de agora mora numa chapa de cobre gravada em 1514, com dezesseis números arrumados em quatro fileiras. Existe ali uma quantidade que nenhuma escolha do gravador poderia mudar, e existem outras que ele escolheu à mão. Descobrir qual é qual resolve o dia.

II  O Enigma do dia

Trinta e quatro, e o que Dürer não pôde escolher

As regras valem reler antes de continuar. Os dezesseis números são os inteiros de 1 a 16, cada um usado uma vez. As dez somas obrigatórias são as quatro linhas, as quatro colunas e as duas diagonais. Giros e reflexos contam como o mesmo quadrado. Tudo que aparecer de brinde precisa ser demonstrado a partir dessas dez igualdades.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é sair procurando arranjos. Existem 880 quadrados mágicos distintos de quatro por quatro, número que Frénicle de Bessy fechou em 1693 varrendo os casos à mão, e conferir a lista inteira responde a segunda pergunta sem explicar nada sobre ela.

O segundo erro é confundir o que sobra com o que foi posto. Um leitor que vê os cantos somando 34, o miolo somando 34 e os quadrantes somando 34 tende a creditar tudo à genialidade do gravador. Parte dessas somas é consequência inevitável das dez igualdades, e nenhuma escolha de artista participa dela.

O terceiro erro é ignorar que somar as mesmas casas duas vezes por caminhos diferentes já é o método inteiro. Some as duas linhas do meio e depois as duas colunas do meio: as quatro casas centrais entram nas duas contas, as casas de borda entram uma vez cada. Compare com a soma dos dezesseis números e veja quanto sobra para o centro.

Sobra a terceira pergunta, e ela é a que separa a aritmética do artista. Os quadrantes de dois por dois somando 34 cada aparecem na gravura de 1514, e a pergunta é se as dez igualdades forçam essa propriedade ou se ela pede um arranjo especial dentro dos 880.

Responda as três com prova. Diga por que 34 é o único valor possível, mostre a conta que arranca os 34 do miolo em qualquer arranjo, e decida se os quadrantes vêm de graça. Depois olhe a última fileira, 4, 15, 14, 1, e pergunte quanta liberdade sobrava para plantar a data ali sem derrubar nada.

III  Sequência

Monte um em cinco minutos e confira as somas

O material é uma folha quadriculada, uma caneta e cinco minutos. O procedimento abaixo produz um quadrado mágico de quatro por quatro na primeira tentativa, sem tentativa e erro, e termina exatamente na tabela que Dürer gravou.

1. Desenhe a grade de quatro por quatro e escreva 1 a 16 na ordem natural, da esquerda para a direita e de cima para baixo. A primeira fileira fica 1, 2, 3, 4, a última fica 13, 14, 15, 16. Nada é mágico ainda, e nenhuma linha soma 34.

2. Marque as duas diagonais principais. São oito casas: 1, 6, 11, 16 numa delas, 4, 7, 10, 13 na outra. Troque cada um desses oito números pelo complemento em 17, ou seja, escreva 17 menos o valor. O 1 vira 16, o 6 vira 11, o 4 vira 13, e assim por diante. As oito casas fora das diagonais ficam como estavam.

3. Confira as dez somas. Toda linha, toda coluna e as duas diagonais dão 34. A última fileira saiu 4, 14, 15, 1, e falta um passo para a data aparecer.

4. Troque a segunda coluna com a terceira, inteiras. As linhas continuam com os mesmos quatro números, as colunas apenas trocaram de lugar, e as diagonais passam a valer 16 mais 10 mais 7 mais 1 e 13 mais 11 mais 6 mais 4, as duas em 34. A última fileira agora lê 4, 15, 14, 1, e você tem na folha a tabela da gravura de 1514.

Panofsky lê a cena como confissão pessoal, e a tabela no canto é onde o gravador assina com números. A troca de duas colunas transforma uma construção escolar numa data e num par de iniciais, e nenhuma soma paga o preço.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A conta vale muito além da chapa de cobre. Somar as mesmas casas por dois caminhos e comparar os totais separa o que a estrutura entrega de graça do que alguém teve trabalho de escolher.

Os quatro cantos e as quatro casas do miolo somam 34 em todo quadrado mágico de quatro por quatro, e não custaram nada a quem montou. Os quadrantes somando 34 cada é outra história, e a folha na sua mesa decide qual das duas histórias vale.

"Quantas vezes você elogiou uma escolha que a aritmética já tinha feito sozinha?"

Teste hoje, em cinco minutos: monte três quadrados pelo procedimento de quatro passos, embaralhando a ordem das colunas do meio e das linhas do meio em cada um, e some os quatro cantos e as quatro casas centrais de cada tabela. Os seis totais dão 34. Depois some os quatro blocos de dois por dois e anote em quantos dos três a soma se repete.

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Na última fileira do quadrado de Dürer (4, 15, 14, 1), o que as duas casas do meio, 15 e 14, representam?

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