I  A resposta de ontem

Oito altares no lugar de dois

O relato mais antigo do altar de Delos vem de Eratóstenes de Cirene, bibliotecário de Alexandria no século III antes de Cristo, numa carta ao rei Ptolomeu III. A carta sobreviveu porque Eutócio de Ascalão, comentador grego do século VI, a copiou num estudo sobre Arquimedes.

Pela versão de Eratóstenes, os construtores de Delos entenderam a ordem do jeito mais simples: dobraram cada aresta do altar. Um cubo com aresta duas vezes maior tem volume oito vezes maior, porque o comprimento entra três vezes na conta: 2 vezes 2 vezes 2.

A peste não cedeu. Os delianos procuraram Platão, em Atenas, e o filósofo, segundo o biógrafo Plutarco, respondeu que o deus não precisava de altar maior. O recado do oráculo, para Platão, era outro: os gregos deviam largar a guerra e estudar geometria.

Hipócrates troca o problema

Antes de Platão, Hipócrates de Quios, geômetra do século V antes de Cristo (sem parentesco com o médico de Cós), já tinha reformulado a questão. Dobrar o cubo, mostrou ele, equivale a achar duas médias proporcionais (dois números intermediários numa progressão de razão fixa) entre a aresta e o dobro dela.

Em números: entre 1 e 2, é preciso achar x e y com 1 está para x assim como x está para y, e y está para 2. O primeiro desses números, x, é a aresta do altar dobrado. A troca não resolvia nada, mas deu ao problema uma forma que as curvas podiam atacar.

Três soluções gregas fora da lei

Arquitas de Tarento, amigo de Platão, achou as duas médias cruzando três superfícies no espaço: um cilindro, um cone e um toro (sólido em forma de boia). Menecmo, aluno de Eudoxo, chegou ao mesmo ponto cruzando duas parábolas, curvas que ele próprio estudava como fatias de cone.

Eratóstenes construiu um instrumento, o mesolábio (pegador de médias), com três placas deslizantes num trilho. Ele mandou gravar o desenho numa coluna votiva com um poema dedicado ao rei. Todas essas soluções acertam a aresta, e todas usam algo além do compasso e da borda reta.

Os próprios gregos sabiam a diferença. Pappus de Alexandria, no século IV, separou os problemas em planos (resolvidos com compasso e borda reta), sólidos (que pedem cônicas) e lineares (que pedem curvas mais complexas) e pôs a duplicação do cubo entre os sólidos. Faltava a prova de que ela não cabia na primeira gaveta.

II  O Enigma do dia

Um cubo de 1 metro e uma calculadora

O palpite comum é 1,5, metade a mais de aresta para o dobro de volume. Parece justo e erra feio: 1,5 vezes 1,5 vezes 1,5 dá 3,375, mais do triplo do altar original.

O que conferir

Elevar ao cubo é multiplicar o número por ele mesmo duas vezes seguidas. Com 1,2, por exemplo, a primeira conta dá 1,44 e a segunda dá 1,728, ainda abaixo de 2.

A busca anda em duas etapas. Primeiro se acha a casa dos décimos, entre dois valores vizinhos. Depois se repete a busca nos centésimos, dentro do intervalo encontrado.

As pistas

1. Primeira pista: 1,3 ao cubo dá 2,197, então a aresta fica entre 1,2 e 1,3.

2. Segunda pista: a resposta fica mais perto de 1,3 do que de 1,2.

3. Terceira pista: 1,25 ao cubo dá 1,953125, ainda abaixo do dobro.

4. Quarta pista: a resposta termina no algarismo 6.

Onde o raciocínio escorrega

O primeiro escorregão é o dos construtores de Delos: tratar volume como se fosse comprimento. Dobrar a aresta multiplica o volume por 8, e aumentar a aresta pela metade multiplica por mais de 3.

O segundo é arredondar cedo. Quem corta 1,44 para 1,4 na primeira multiplicação chega a 1,68 no lugar de 1,728 e erra a casa dos décimos na conta seguinte.

O terceiro é parar no primeiro valor acima de 2 sem conferir o anterior. A pergunta pede a menor aresta de duas casas acima do dobro, então o vizinho de baixo precisa ficar abaixo de 2.

Responda antes de seguir: escreva num papel a aresta com duas casas decimais.

III  Sequência

Como Wantzel fechou a conta

Pierre Laurent Wantzel nasceu em Paris em 1814, formou-se na Escola Politécnica e publicou a prova em 1837 no Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (revista de matemática pura e aplicada), editado por Joseph Liouville. O argumento cabe em cinco passos.

1. Toda construção parte de um segmento de comprimento 1, a unidade.

2. Cada ponto novo nasce do cruzamento de retas e círculos, e as coordenadas dele saem de soma, subtração, produto, divisão e raiz quadrada dos números anteriores.

3. Cada raiz quadrada nova dobra o grau do número, isto é, o grau da menor equação de coeficientes inteiros resolvida por ele. O grau de um número construível é sempre 1, 2, 4, 8, 16, e assim por diante.

4. A aresta pedida resolve x³ = 2 (x ao cubo igual a 2), e essa equação não se quebra em equações menores com frações. O grau da aresta é 3.

5. O número 3 não é potência de 2, então nenhuma sequência de cruzamentos chega à aresta.

A resposta do enigma é 1,26. Três multiplicações confirmam: 1,26 vezes 1,26 dá 1,5876, e 1,5876 vezes 1,26 dá 2,000376, um fio acima do dobro. O vizinho de baixo, 1,25, dá 1,953125 e fica abaixo.

A prova vale também para o ângulo

O mesmo artigo de 1837 derrubou um segundo problema grego: dividir qualquer ângulo em três partes iguais com compasso e borda reta. A trissecção do ângulo de 60 graus leva a outra equação de grau 3, e o passo 5 se aplica igual.

O título do artigo anuncia o método inteiro: “Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas” (pesquisas sobre os meios de reconhecer se um problema de geometria se resolve com os dois instrumentos clássicos), Pierre Wantzel, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1837.

Outras ferramentas chegam lá. Peter Messer publicou em 1986, na revista canadense Crux Mathematicorum, uma sequência de dobras de papel capaz de marcar a raiz cúbica de 2 numa folha quadrada, porque a dobradura resolve equações de grau 3.

Quanto à peste, nenhum documento registra como ela acabou em Delos. O relato de Eratóstenes trata do erro dos construtores e da resposta de Platão; o destino dos doentes ficou fora da carta e de qualquer outra fonte grega conhecida.

“Qual é a menor aresta de duas casas cujo cubo passa de 2?”

1,26, com volume de 2,000376 metros cúbicos.

Teste hoje: sem a tecla de raiz, ache a aresta de um cubo com o triplo do volume, com duas casas decimais. Anote quantas multiplicações você fez. Com a busca em duas etapas, a resposta 1,45 sai em até oito multiplicações; 1,44 ao cubo dá 2,985984 e fica abaixo de 3.

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