I  A resposta de ontem

As 27 contra as 25

Galileu Galilei, matemático e astrônomo nascido em Pisa em 1564, respondeu à pergunta num texto curto chamado Sopra le scoperte dei dadi (Sobre as descobertas nos dados). Os historiadores datam a escrita entre 1613 e 1623, quando ele ocupava o posto de filósofo e matemático da corte dos Médici, em Florença.

O texto abre dizendo que Galileu escreve para obedecer a quem lhe deu a ordem, sem nomear essa pessoa. A tradição aponta o Grão-Duque da Toscana, Cosimo II de' Medici, patrão de Galileu até 1621. Nenhum documento confirma o nome: a hipótese se apoia no cargo que Galileu ocupava e na data provável do manuscrito.

O manuscrito ficou guardado por quase um século. Saiu impresso em 1718, em Florença, numa edição das obras de Galileu, com o título Considerazione sopra il giuoco dei dadi (Consideração sobre o jogo de dados).

A resposta de Galileu cabe numa troca de pergunta. Em vez de contar trincas, ele contou lances distinguíveis: cada dado tem 6 faces, e três dados geram 6 vezes 6 vezes 6, ou 216 resultados, todos com a mesma chance de cair.

A chance de uma soma é a quantidade de lances que a produzem dividida por 216. O 10 junta 27 lances; o 9, 25.

A tabela de Galileu

Galileu montou uma tabela com as somas de 3 a 10 e as trincas de cada uma, anotando ao lado quantas permutações (as ordens diferentes em que os mesmos três números podem cair) cada trinca rende. Trinca de três números distintos rende 6. Trinca com um par rende 3. Trinca de três iguais rende 1.

Ele só precisou ir até o 10 porque a tabela é simétrica. A soma 11 espelha a 10, a 12 espelha a 9, e assim segue até o 18, que espelha o 3. Troque cada face pela face oposta do dado (o 1 pelo 6, o 2 pelo 5, o 3 pelo 4) e toda soma s vira 21 menos s.

Com a tabela pronta, o placar das somas centrais aparece sozinho. O 10 e o 11 empatam no topo com 27 lances cada; o 9 e o 12 vêm logo abaixo com 25. As pontas são raras: o 3 e o 18 saem em 1 lance cada, uma vez em 216.

Galileu não inventou a conta. Gerolamo Cardano, médico e jogador de Pavia, já contava lances distinguíveis no Liber de ludo aleae (Livro sobre os jogos de azar), escrito por volta de 1564. O livro só foi impresso em 1663, décadas depois do texto de Galileu, que não tinha como lê-lo.

A tabela explica ainda por que os jogadores sentiam a diferença sem saber explicá-la. Numa noite de 200 lances, o 10 aparece em média 25 vezes e o 9 cerca de 23. Dois lances de vantagem se perdem na sorte de uma noite; em meses de mesa, o desvio vira impressão firme de quem aposta sempre na mesma soma.

II  O Enigma do dia

A aposta do cavaleiro de Méré

Quem trouxe as duas apostas foi Antoine Gombaud, escritor francês conhecido como cavaleiro de Méré, frequentador das mesas de jogo de Paris. Ele raciocinava por proporção: o 6 tem chance de 1 em 6 por lance, e 4 lances bastam; o duplo 6 tem chance de 1 em 36, seis vezes menor, e seis vezes mais lances, 24, deveriam equilibrar.

A prática desconfiava da proporção. Méré levou a dúvida a Blaise Pascal, matemático de Clermont, que discutiu o caso em cartas com Pierre de Fermat, juiz e matemático de Toulouse, no verão de 1654. As cartas dos dois são hoje o marco de fundação do cálculo de probabilidades.

As regras são as de qualquer mesa honesta. Dados sem vício, cada face com a mesma chance, cada lance independente dos anteriores. A resposta pede a chance de vitória de cada aposta, em porcentagem com uma casa decimal, e a menor quantidade de lances que passa dos 50% na segunda.

Uma pista: calcular a chance de sair pelo menos um 6 dá trabalho, porque há muitos jeitos de acertar. Calcule o contrário, a chance de não sair 6 em lance nenhum, e subtraia de 100%. Um lance sem 6 tem chance de 5 em 6; dois lances seguidos sem 6, 5/6 vezes 5/6.

Três tropeços comuns

O primeiro tropeço é somar as chances: 1/6 mais 1/6 mais 1/6 mais 1/6 dá 4/6. Siga a lógica com 7 lances e a soma passa de 100%, algo impossível para qualquer chance. A soma conta duas vezes os lances em que o 6 sai repetido.

O segundo é copiar a proporção de Méré. Multiplicar os lances pelo fator que divide a chance acerta a média de acertos, que empata nas duas apostas (4 vezes 1/6 e 24 vezes 1/36 dão 2/3). A chance de acertar pelo menos uma vez não acompanha a média.

O terceiro é contar resultados sem ordem. Em dois dados, o duplo 6 é um lance entre 36, com os dados distinguidos por cor, como Galileu fazia com três. Quem conta só 21 pares sem ordem erra pelo caminho dos jogadores da corte italiana.

Responda as duas por escrito: a porcentagem de cada aposta e a quantidade mínima de lances para a segunda virar a favor.

III  Sequência

Quatro lances contra vinte e quatro

O material é papel, lápis e a calculadora do celular. O procedimento abaixo resolve as duas apostas e qualquer pergunta do tipo "pelo menos um acerto em n tentativas".

1. Escreva a chance de falhar num lance só. Para o 6 num dado, 5/6; para o duplo 6 em dois dados, 35/36.

2. Eleve essa chance à quantidade de lances. Lances independentes multiplicam as chances de falha.

3. Subtraia o resultado de 1. A sobra é a chance de acertar pelo menos uma vez.

4. Compare com 50%. Acima, a aposta favorece quem aposta; abaixo, favorece a banca.

Na primeira aposta, 5/6 elevado a 4 dá 625/1296, cerca de 48,2%. Subtraído de 1, sobra 51,8%: a aposta do 6 em quatro lances ganha um pouco mais do que perde.

Na segunda, 35/36 elevado a 24 dá cerca de 50,9%. A chance de vitória fica em 49,1%, abaixo da metade. Méré tinha razão em desconfiar: a proporção prometia empate e entregava perda de quase um ponto por aposta.

A pergunta extra se resolve testando lances vizinhos. Com 25 lances, 35/36 elevado a 25 cai para cerca de 49,4%, e a chance de vitória sobe para perto de 50,6%. Vinte e cinco é o mínimo; com 24, a banca ainda leva.

A mesma lógica explica os jogadores de Galileu. Poucas partidas não separam 49,1% de 50%, nem 11,6% de 12,5%. A diferença só vira sensação depois de centenas de lances, e foi a insistência dos jogadores que levou dois matemáticos, com três décadas de distância, a pegar papel.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

Quando a pergunta for "pelo menos uma vez", calcule a chance de nunca acontecer e subtraia de 1. A conta direta tropeça nos acertos repetidos.

"Em quantas escolhas do seu dia você conta as trincas quando deveria contar os lances?"

Teste hoje: lance três dados 108 vezes, ou use um aplicativo de dados, e anote cada soma com um risco no papel. Conte quantas vezes saiu 10 e quantas saiu 9. A conta de Galileu prevê cerca de 13,5 dezes e 12,5 noves; espere uma diferença pequena, que em muitas rodadas se inverte, e marque no relógio quantos minutos a tarefa levou.

{{streak_titulo | Comece sua ofensiva hoje}}

{{ouro_linha | Cada edição vale 10 de ouro: voto, quiz e clique.}}

sua patente

{{rank_simbolo | ◆}} {{rank_nome | Aprendiz}}

faltam {{xp_falta | 5}} de ouro pra {{rank_prox | próxima patente}}

Maratona dos 7 dias finais

Dia 4 de 7 · a temporada de setembro fecha 30/09

Presença por clique, voto ou quiz. Sem folga na maratona: o seguro do mês cobre 1 dia.

Acompanhar minha ofensiva →

Segundo o texto, em que ano o manuscrito de Galileu sobre os dados finalmente saiu impresso, quase um século depois de escrito?

Veja o ranking de quem mais acerta →

Como foi a edição de hoje?

Qual edição você quer ver?

1 toque vota. A mais votada sai nos próximos dias.

Voto aberto até 28/09, 15h30

Civilizações Perdidas

Às 20:20 na sua caixa: o capítulo do dia sobre um império que nasceu, prosperou e colapsou. E o que esse ciclo revela sobre o presente.

Quero receber →

Indique essa newsletter para um amigo

Cada leitor confirmado pelo seu link sobe um degrau da escada de prêmios.

{{indicacoes_confirmadas | 0}} confirmadas · faltam {{indicacoes_falta | 1}} pra próxima recompensa

● 1 Pack de wallpapers

■ 3 Edição de Colecionador do mês

▲ 5 ebook O Silêncio na Mesa

Pegar meu link de indicação →

ED 052 · amanhã às 08:08

A partida parada em 2 a 1 que Pascal e Fermat dividiram

Numa disputa de três vitórias interrompida em 2 a 1, a bolsa justa se reparte em 3 para 1, e a prova veio em…