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Nove pontos, quatro retas e um quadrado que ninguém desenhou
Sam Loyd imprimiu nove pontos em três fileiras na Cyclopedia of Puzzles de 1914, e a saída passa por fora de uma moldura que ninguém pediu.
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Nove pontos em três fileiras de três
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Em 1914 saiu em Nova York um calhamaço de quase quatrocentas páginas com o nome comprido de Cyclopedia of Puzzles. Era a obra reunida de Sam Loyd, um enxadrista que virou o mais famoso fabricante de charadas dos Estados Unidos, e o livro foi publicado pelo filho dele logo depois que o pai parou de trabalhar.
Entre as centenas de problemas ilustrados, um ocupava um espaço mínimo na página. Nove pontos arrumados em três fileiras de três, um quadrado perfeito de bolinhas, e uma instrução de uma linha só.
A instrução mandava ligar os nove pontos com quatro retas, sem tirar o lápis do papel e sem repetir trecho já percorrido. Nada além disso estava escrito.
Loyd embrulhou o problema numa historinha sobre Colombo e uma bandeja de ovos, porque ele vendia charada como quem vende espetáculo e sabia que uma imagem gruda mais que uma regra. A moldura de ovos mudou, o problema não.
Quem tenta pela primeira vez costuma gastar três retas com facilidade e travar na quarta, sempre com um ponto sobrando no canto. A pessoa refaz o traçado, tenta outra ordem, gira o papel, e chega no mesmo lugar.
O detalhe cruel é que a tentativa não falha por falta de habilidade. Ela falha porque o lápis está obedecendo a uma regra que ninguém escreveu: a de não sair da área ocupada pelos nove pontos.
Os pontos formam um quadrado aos olhos, e o olho entrega esse quadrado como se fosse uma parede. A folha continua vazia em volta, o enunciado não citou limite nenhum, e mesmo assim o traço se comporta como se houvesse uma cerca.
Essa charada de bolso virou, décadas depois, a origem da expressão sobre pensar fora da caixa, usada em treinamento corporativo até perder o sentido. A frase sobreviveu porque descreve exatamente o que acontece com o lápis, e não porque alguém tenha resolvido o problema.
Guarde a ideia de restrição inventada, porque ela é o eixo do que vem hoje. Antes disso fica de pé uma conta de haste e disco, com uma torre que precisa ser desmontada duas vezes para o disco de baixo conseguir se mover uma única vez.
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I A resposta de ontem
A torre que precisa ser resolvida duas vezes
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A resposta é dois elevado ao número de discos, menos um. Para sessenta e quatro discos isso dá 18.446.744.073.709.551.615 jogadas, e o valor não vem de uma soma, vem de uma repetição que se aninha dentro de si mesma.
O argumento inteiro cabe numa pergunta sobre o instante mais importante da partida: o momento em que o disco de baixo sai do lugar.
Para o disco maior se mover, a haste de destino precisa estar vazia e todos os discos menores precisam estar juntos, empilhados na ordem certa, na terceira haste. Não existe arranjo alternativo, porque nenhum disco menor pode estar sob outro maior e nenhum pode estar fora das hastes.
Essa exigência é o que fecha a prova. Antes da jogada do disco de baixo, você já resolveu uma torre inteira de tamanho menor. Depois dela, precisa resolver a mesma torre de novo, agora por cima do disco que acabou de chegar.
Duas passagens completas, nunca uma. O custo de uma torre é sempre o dobro do custo da torre anterior mais a jogada única do disco grande, e é dessa relação que o total explode.
Vale ver a escada de perto:
| 1 disco | 1 jogada |
| 2 discos | 3 jogadas |
| 3 discos | 7 jogadas |
| 4 discos | 15 jogadas |
| 5 discos | 31 jogadas |
Cada linha é o dobro da linha de cima mais um, e cada linha vale um a menos que uma potência de dois. Quem enxerga esse padrão para de contar jogadas e passa a contar dobras.
Falta a parte que quase todo mundo pula: provar que não existe atalho. A tentação é imaginar um caminho esperto que resolva a torre menor uma vez só e aproveite o trabalho nas duas pontas.
O atalho não existe porque as duas passagens têm destinos diferentes. A primeira leva a torre menor para a haste auxiliar, para liberar o disco de baixo. A segunda leva a mesma torre da auxiliar para o destino final, por cima dele.
São duas mudanças de lugar distintas, e nenhuma delas pode ser economizada sem violar a regra do disco maior sobre o menor. O mínimo, portanto, é exatamente o dobro mais um, sem margem.
Repare no tipo de raciocínio que resolveu a questão. Ninguém contou jogadas, ninguém desenhou o percurso: a resposta apareceu ao perguntar o que precisa ser verdade num instante específico.
Agora inverta o mesmo movimento. Em vez de perguntar o que a regra obriga, pergunte o que a regra nunca disse, porque é aí que mora o problema de hoje.
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II O Enigma do dia
Ligue nove pontos sem tirar o lápis do papel
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Desenhe nove pontos em três fileiras de três, formando um quadrado. Ligue todos eles com quatro retas, em traço contínuo, sem tirar o lápis do papel e sem repassar trecho já percorrido. Como se faz, e por que a solução parece proibida antes de você tentar?
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Duas perguntas, e a segunda pesa mais que a primeira. Achar o traçado é questão de minutos depois que a trava cai; entender por que a trava existe é o que sobra depois.
Vale fixar o que o enunciado permite e o que ele não permite, porque a maior parte das discussões sobre essa charada morre na regra imaginada.
Permitido: o traço passar por fora da área dos pontos, uma reta cruzar outra, uma reta tocar mais de três pontos, e o percurso começar em qualquer lugar da folha.
Proibido: tirar o lápis do papel, curvar a linha, usar uma quinta reta, dobrar o papel, engrossar o traço até cobrir tudo e usar pontos maiores que o desenho.
Onde quase todo mundo trava
A primeira tentativa quase sempre percorre as bordas do quadrado. Três retas fecham o perímetro com elegância, sobra o ponto do centro ou um ponto de canto, e a quarta reta nunca alcança o que ficou.
A segunda tentativa costuma ser um zigue-zague pelas fileiras. Uma reta por fileira daria três retas para nove pontos, mas o lápis precisa voltar do fim de uma fileira até o começo da outra, e essa volta consome exatamente as retas que faltavam.
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O enunciado nunca falou em quadrado. Quem desenhou o quadrado foi o seu olho, que agrupou nove pontos soltos numa figura fechada e tratou a borda dessa figura como limite do traço.
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O nome técnico do fenômeno é fechamento perceptual, e ele é útil na maior parte do tempo: é o que permite reconhecer um rosto atrás de uma grade ou uma palavra com uma letra apagada. Aqui ele cobra a conta.
A solução exige que a reta ultrapasse a última fileira de pontos e vá morrer no papel vazio, num lugar onde não existe ponto nenhum. É um traço que parece desperdício enquanto está sendo feito, e só faz sentido quando a reta seguinte volta cortando a diagonal.
Repare no formato do erro. Ele não é falta de tentativa, é excesso de estrutura: a cabeça reduziu o espaço de busca antes de começar a busca, e depois tentou milhares de caminhos dentro do espaço errado.
A pergunta continua de pé, e ela é sobre o mecanismo. Descreva o traçado das quatro retas e, principalmente, diga em que momento o lápis precisa deixar a área dos nove pontos e por que essa saída é obrigatória.
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