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ED 007

Mil garrafas e uma noite só de teste

Uma garrafa entre mil está contaminada, cada tira leva 24 horas para reagir e a festa é amanhã: ache o número mínimo de tiras.

Mil garrafas iguais numa adega e uma tira de teste parada sobre a bancada.

Mil garrafas e uma tira de teste

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Em Londres existe um julgamento que não tem réu, advogado nem testemunha, e que corre sem falta desde o século XIII. Chama-se Trial of the Pyx, e o acusado é a moeda. Durante o ano inteiro a Casa da Moeda separa exemplares de cada lote produzido e tranca todos numa arca de madeira, o pyx que dá nome ao rito.

Uma vez por ano a arca é aberta diante de um júri de ourives. As moedas são contadas, pesadas em conjunto e ensaiadas quanto ao teor de metal, e o veredito vale para a produção inteira daquele ano. Milhões de peças respondem pelo que aquele punhado disser, e ninguém volta a abrir a arca depois.

Repare no arranjo. O teste não olha moeda por moeda e mesmo assim decide sobre tudo que saiu da prensa. A amostra fala pelo lote, a sessão tem data marcada no calendário, e a resposta sai de uma rodada só.

Um teste que responde por muita coisa de uma vez é uma máquina econômica. Um teste lento é outra história. Quando cada leitura leva um dia inteiro para ficar pronta, o calendário passa a mandar mais que a bancada, e a pergunta deixa de ser quantos testes cabem no orçamento.

A pergunta vira outra: quantas perguntas diferentes cabem numa rodada só. Todas precisam ser feitas antes de a primeira resposta chegar, porque a segunda rodada não existe, e o plano inteiro se decide no momento em que o material é preparado, não no momento em que a cor aparece.

Quem trabalha assim descobre uma inversão desconfortável. O trabalho pesado sai todo antes do teste, na hora de montar o arranjo, e a leitura no fim vira quase um detalhe: ela só confirma um plano que já estava fechado desde a véspera.

Antes de encostar em garrafa nenhuma, falta fechar a conta de dois baldes lisos e uma torneira aberta. A quantidade certa não aparece em parede nenhuma dos dois, e mesmo assim ela sai exata, num ponto que os próprios baldes definem.

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I A Resposta de Ontem

Seis movimentos e nenhuma marca

Cinco litros de um lado, três do outro, e uma conta que dispensa régua.

Um balde de 5 litros, um balde de 3 litros, uma torneira aberta e nenhuma marcação por dentro ou por fora. Deixe exatamente 4 litros parados dentro de um dos dois, sem medir no olho e sem chamar um terceiro recipiente.

O reflexo é caçar o nível certo na parede do balde grande. Quatro litros ficam num ponto qualquer entre a metade e a boca, e parede lisa não confirma ponto nenhum. A caçada termina sempre em palpite com cara de medida.

Troque a pergunta. Em vez de perguntar quanto tem dentro do balde, pergunte quanto falta para ele encher. O que falta é tão exato quanto o que cabe, porque as duas quantidades saem da mesma capacidade fixa.

Com a pergunta virada, a sequência aparece em seis movimentos.

Encha o balde de 5 na torneira e despeje no de 3 até o pequeno chegar à boca. Ficam 2 litros no grande e 3 no pequeno. Jogue o pequeno no ralo e passe para ele os 2 litros que sobraram no grande.

Agora o balde de 3 tem 2 litros dentro, e o espaço vago nele é de 1 litro exato. Encha o balde de 5 de novo na torneira e despeje no pequeno: o despejo para assim que o pequeno enche, e sai do grande exatamente 1 litro.

Sobram 4 litros no balde de 5. Seis movimentos, nenhuma marca, nenhuma estimativa.

Um balde de 3 com 2 litros dentro deixa de ser balde e vira uma medida de 1 litro.

Repare no que a sequência aguenta. Ela não depende de firmeza de mão, de luz boa na cozinha nem de bom senso na hora de olhar o nível. Cada movimento termina num ponto que o próprio balde define, e um encadeamento de pontos exatos não acumula erro.

Faltava ainda a pergunta guardada para o fim: quais quantidades os dois baldes produzem juntos. A lista completa é zero, um, dois, três, quatro e cinco litros, sem buraco nenhum entre eles.

A razão é aritmética curta. Os números 3 e 5 não têm divisor comum acima de 1, e dois enchimentos do balde pequeno despejados no grande deixam 1 litro parado no pequeno. Quem fabrica 1 litro fabrica qualquer quantidade inteira dentro da capacidade dos dois.

O enunciado tem quatro séculos de estrada. A versão com vinho e três vasilhas aparece em Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, de Claude Gaspard Bachet de Méziriac, publicado em 1612.

Guarde o truque de fabricar a medida com o espaço vago, porque o enigma que vem agora troca a água por mil garrafas e uma tira de papel que demora um dia inteiro para responder.

II O Enigma do Dia

A adega, as tiras e o relógio

Mil garrafas iguais numa adega e exatamente uma delas contaminada. Cada tira de teste leva 24 horas para reagir e a festa começa amanhã. Qual o número mínimo de tiras que crava a garrafa culpada numa única rodada?

As mil garrafas são idênticas por fora e por dentro: mesmo rótulo, mesma cor, mesmo cheiro. Nada além da tira acusa a contaminada.

A tira é sensível a qualquer traço do líquido contaminado. Uma gota da garrafa errada no meio de cem gotas limpas já muda a cor da tira, e nenhuma diluição livra a garrafa do teste.

Você pode encostar na mesma tira gotas de quantas garrafas quiser, e pode pingar a mesma garrafa em quantas tiras quiser. A tira é de uso único e responde uma coisa só: reagiu ou não reagiu.

O relógio é a parte dura. Toda tira que for entrar no plano precisa receber as gotas agora, ao mesmo tempo que as outras, porque a leitura acontece uma vez só, 24 horas depois.

Fora da regra: esperar 48 horas, testar em duas ondas, provar o líquido, abrir as garrafas para olhar, cheirar, chutar pelo lote de compra e entregar um grupo de suspeitas no lugar de uma garrafa.

Onde quase todo mundo trava

A primeira tentativa é uma tira por garrafa. Mil tiras resolvem e ninguém discute o resultado, mas a conta pedida é a menor, não a mais óbvia.

A segunda é dividir a adega em grupos e testar grupo por grupo. Dez grupos de cem garrafas custam dez tiras na primeira rodada, e aí chega o problema: a segunda rodada só termina depois de amanhã, com a festa já desmontada.

A terceira é cortar ao meio, sempre. Quinhentas, duzentas e cinquenta, cento e vinte e cinco, e o corte fecha rápido no papel. Em tempo de bancada, cada corte custa um dia inteiro, e dez dias não cabem numa noite.

Cada tira responde uma pergunta só, e todas as perguntas precisam sair de casa antes de a primeira resposta chegar.

Repare no que a leitura devolve no fim das 24 horas. Não é uma tira apontando uma garrafa: é o conjunto inteiro de tiras, cada uma com um sim ou um não estampado, e a garrafa culpada precisa ser a única compatível com aquele desenho de sins e nãos.

A palavra que trava a maioria é testar. Testar sugere uma garrafa por vez, e uma garrafa por vez é justamente o que a noite não comporta. A tarefa não pede teste de garrafa: pede um plano de misturas que nenhuma outra garrafa consiga imitar.

Existe um número mínimo de tiras que resolve as mil garrafas numa rodada só, e ele é bem menor do que quase todo mundo aposta na primeira leitura do enunciado.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Mil garrafas, uma contaminada, tiras que levam 24 horas e uma única leitura amanhã de manhã.

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III Sequência

Oito tampinhas e uma folha de papel

Pegue oito tampinhas de garrafa e numere de 1 a 8 com caneta. Uma folha de papel e a borda de um livro para riscar as colunas completam o material.

Quem desenha a tabela fecha antes de quem tenta segurar mil garrafas de cabeça. Oito tampinhas na mesa mostram em cinco minutos a regra que a adega inteira obedece.

1. Reduza o problema antes de atacar. Esqueça as mil garrafas e responda quantas tiras bastam para achar a tampinha marcada entre oito, com uma rodada só. Anote o número.

2. Monte a tabela: uma linha por tampinha, uma coluna por tira, e um X em cada cruzamento onde aquela tampinha encosta naquela tira. A coluna vira o plano de mistura da tira, e a linha vira a assinatura da tampinha.

3. Confira a tabela pela regra que decide tudo: duas linhas iguais derrubam o plano, porque duas tampinhas com a mesma assinatura ficam indistinguíveis na leitura. Todas as linhas diferentes, o plano fecha.

"Se você não consegue resolver o problema proposto, procure primeiro resolver algum problema relacionado."

George Pólya, A Arte de Resolver Problemas, 1945.

A redução aqui tem endereço: oito tampinhas cabem na mesa e mil garrafas não cabem. Feche o caso pequeno com número e regra, e o caso grande deixa de ser um problema novo.

O problema relacionado é ainda menor que a tabela. Com duas tiras, quantas tampinhas dá para separar? Com três? Anote a progressão numa coluna e a regra aparece sozinha, sem fórmula decorada.

Se travar, inverta a pergunta. Em vez de perguntar quantas tiras as mil garrafas exigem, pergunte quantas garrafas um punhado de tiras dá conta de separar, e cresça o punhado até passar de mil.

Feche o palpite por escrito antes de largar o problema, com o número e a regra que o gera. Palpite que fica só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

A Sequência é o placar de quem vira a chave sozinho. Um ponto por enigma fechado antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Ninguém está cronometrando. O enigma trabalha melhor solto: você lê agora, larga, e a resposta costuma chegar no banho ou na fila do mercado.

Um último aviso de jogo limpo. Se o seu plano precisa de uma segunda rodada, de 48 horas, de um gole de prova ou de três garrafas suspeitas no lugar de uma, ele ainda não é o plano.

Mil garrafas na adega, uma delas contaminada, tiras que só falam depois de 24 horas e uma leitura única amanhã de manhã.

A adega já está descrita pelo enunciado. Falta descobrir quantas respostas de sim ou não uma noite comporta.

"Uma tira sozinha pode falar por quantas garrafas?"