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Duas urnas, cinquenta bolas brancas e uma venda
O carrasco sorteia a urna e depois a bola, sempre no escuro, e a divisão das cem bolas é feita por você antes da venda entrar.
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Duas urnas e cem bolas sobre a mesa
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Em 1663, quase um século depois da morte do autor, saiu impresso o Liber de ludo aleae, de Gerolamo Cardano, um tratado sobre jogos de dados escrito por quem apostava a própria comida na mesa. Dentro dele está a regra que fundou o cálculo de chances: conte os casos favoráveis, conte os casos possíveis, e divida um pelo outro.
A regra parece óbvia hoje e não era. Ela só funciona se os casos contados forem igualmente prováveis, condição que um dado honesto cumpre por construção e que quase nenhuma situação do mundo cumpre de graça.
Repare no que a exigência abre. Se a chance depende de quais casos são igualmente prováveis, então quem monta o cenário antes do sorteio está mexendo na conta inteira, e não apenas torcendo por sorte melhor.
Cardano percebeu a diferença jogando. Ele notou que dois dados não produzem onze resultados igualmente prováveis, e sim trinta e seis, e que a soma sete aparece mais que a soma doze porque mais casos favoráveis apontam para ela.
Um sorteio feito em duas etapas leva a mesma armadilha adiante. Primeiro o acaso escolhe de onde tirar, depois escolhe o que tirar, e a chance final não é a proporção do monte inteiro, é a média das proporções de cada parte.
Essa distinção parece um detalhe de contabilidade e é o gume da faca. A média de duas frações não é a fração da soma, e a diferença entre as duas leituras é exatamente o espaço em que uma escolha inteligente cabe.
Quem separa o monte manda no segundo passo do acaso. As bolas continuam as mesmas, a moeda continua honesta, e mesmo assim a conta muda de valor conforme a divisão feita antes de tudo começar.
Antes de tocar em urna nenhuma, falta fechar a conta de cem caixas numeradas, cinquenta aberturas por cabeça e um combinado que o acaso jurava impossível.
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I A resposta de ontem
O trilho que cabe num anel
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O plano cabe numa frase e não usa sinal nenhum durante a prova.
Cada preso abre primeiro a caixa que leva o próprio número, lê o número que está lá dentro e vai direto para a caixa com aquele número, repetindo o gesto até achar o seu ou gastar as cinquenta aberturas.
Veja por que a regra funciona. O preso 37 abre a caixa 37, encontra o número 12, abre a caixa 12, encontra o número 89, abre a caixa 89, e assim por diante, sempre com a próxima caixa ditada pelo papel que acabou de sair.
Esse caminho não se perde. Ele só terminaria de outro jeito se duas caixas guardassem o mesmo número, o que o enunciado proíbe, então o passeio fecha um anel e o anel se fecha exatamente na caixa que guarda o número do preso.
Daí sai a consequência que decide tudo. O preso 37 acha o próprio número se, e somente se, o anel em que ele entrou tiver comprimento de até cinquenta caixas, porque a caixa dele é sempre a última do anel.
Repare no que aconteceu com o grupo. Os cem presos não têm mais cem sortes separadas: eles dividem os mesmos anéis do mesmo embaralhamento, e todos vencem juntos se, e somente se, aquele sorteio não produziu nenhum anel maior que cinquenta.
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A pergunta deixou de ser sobre cem pessoas e virou uma pergunta só sobre um sorteio: qual a chance de existir um anel comprido demais.
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A conta do anel comprido é curta. Num embaralhamento sorteado de cem caixas, a chance de existir um anel de comprimento exato k, com k maior que cinquenta, vale 1 dividido por k.
Dois fatos fazem essa fórmula fechar o problema:
1. Não pode existir mais de um anel comprido no mesmo sorteio, porque dois anéis de mais de cinquenta caixas somariam mais de cem caixas.
2. Logo os casos ruins não se sobrepõem, e a chance de derrota é a soma simples das chances de cada comprimento ruim.
Some, então, o fracasso caixa a caixa:
| Anel de 51 caixas | 1/51 |
| Anel de 52 caixas | 1/52 |
| Anel de 100 caixas | 1/100 |
A soma de 1/51 até 1/100 vale perto de 0,688, ou seja, o grupo perde em cerca de 69 de cada 100 rodadas e vence em cerca de 31. O acaso puro dava uma vitória a cada mil trilhões de trilhões de rodadas.
Guarde o gesto, porque o enigma de hoje repete o truque com bolas no lugar de caixas. A chance individual não sobe um milímetro, o que muda é a arrumação combinada antes do sorteio começar.
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II O Enigma do dia
A divisão que a venda não vê
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Cem bolas iguais ao toque, cinquenta brancas e cinquenta pretas, e duas urnas vazias diante de você. Distribua as cem bolas entre as duas urnas como quiser, sem deixar urna vazia. Depois o carrasco entra vendado, sorteia uma das urnas jogando uma moeda honesta, mergulha a mão e tira uma bola ao acaso. Bola branca liberta você. Qual é a divisão que dá a maior chance de bola branca?
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As bolas são idênticas fora a cor. Mesmo peso, mesmo tamanho, mesma textura, então nem o carrasco nem você conseguem identificar uma bola pelo tato depois que a venda entra.
A distribuição é sua e acontece antes. Você mexe nas bolas à vontade, conta quantas quiser em cada urna e não precisa esconder nada, porque o carrasco vendado não enxerga o resultado do seu trabalho.
O sorteio da urna é honesto e independente da divisão. A moeda dá cinquenta por cento para cada urna, e ela é lançada depois de a venda estar no lugar, então não existe jeito de empurrar a mão dele para o lado bom.
Fora da regra: guardar bola no bolso, deixar urna vazia, pintar bola, empilhar as brancas na boca da urna para a mão pegar primeiro, e marcar a urna boa por fora. A mão entra e sorteia uma bola qualquer entre as que estiverem lá.
Você tem uma tentativa só, e a resposta precisa ser uma divisão concreta com um número de chance ao lado, não uma preferência.
Onde quase todo mundo trava
A primeira reação é dividir tudo pela metade e achar o problema encerrado. Cinquenta bolas em cada urna, vinte e cinco brancas de cada lado, e a chance dá exatamente cinquenta por cento, o mesmo do monte inteiro sem urna nenhuma.
A segunda reação é tentar um desequilíbrio moderado e ver a conta teimar. Trinta bolas numa urna e setenta na outra, mantendo a proporção de brancas igual nos dois lados, devolve os mesmos cinquenta por cento de sempre.
Nasce daí a impressão de que a divisão não importa. Se as cem bolas continuam as mesmas e a moeda continua honesta, parece que a chance está travada e nenhum arranjo pode mexer nela.
A chance final é a média das duas proporções, e média não é conta de estoque: uma urna minúscula pesa tanto quanto a urna gigante no resultado.
Aí está a fresta. A moeda dá metade do peso para cada urna independentemente de quantas bolas ela tem, então uma urna pequena e caprichada vale o mesmo que uma urna com quase tudo dentro.
A pergunta certa muda de forma com isso. Em vez de perguntar como dividir bem as cem bolas, pergunte quanto de certeza dá para comprar numa urna, e quanto a outra urna aguenta perder sem estragar a média.
A segunda pista está no menor tamanho possível de urna. Uma urna com uma bola só entrega uma proporção que não é sorteada, é decidida por você, e as noventa e nove bolas restantes ainda guardam quase metade de brancas.
O enunciado está inteiro aqui em cima. Cem bolas, duas urnas, uma moeda honesta, uma mão vendada e uma divisão feita antes de tudo, que vale para sempre.
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