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ED 003

Duas portas e uma pergunta só

Duas portas iguais, dois guardiões que sabem tudo, e uma única pergunta de sim ou não para achar a saída.

Duas portas idênticas no fim de um corredor escuro, com um guardião imóvel de pé em frente a cada uma.

Duas portas iguais e dois guardiões calados

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Em Creta, por volta do século VI a.C., um poeta chamado Epimênides teria escrito que os cretenses mentem sempre. Ele era cretense, e a frase atravessou a Antiguidade inteira sem que ninguém conseguisse cravar se ela era verdadeira ou falsa.

Duzentos anos depois, em Mileto, Eubulides fechou o problema numa frase de três palavras: eu estou mentindo. Se a frase é verdadeira, ela mente. Se ela mente, é verdadeira. O paradoxo do mentiroso entrou na lógica por essa porta e nunca mais saiu de lá.

Um paradoxo é bonito e não serve para quase nada. Ele trava o raciocínio no ponto exato em que o raciocínio deveria começar, e a lógica levou dois mil anos para perceber que existe outro tipo de mentiroso, bem mais útil.

O mentiroso interessante não é o da frase que se engole sozinha. É o que mente sempre, sem exceção e sem hesitar, em toda pergunta que recebe. Esse não trava nada: ele apenas troca o sinal de tudo que passa por ele, com uma disciplina que nenhum honesto supera.

Foi Raymond Smullyan quem transformou o inversor em brinquedo de mesa. Em 1978, no livro Qual É o Nome Deste Livro?, ele povoou uma ilha com dois tipos de habitante: os que só dizem a verdade e os que só mentem. Todos respondem, todos são educados, e nenhum se identifica.

A ilha de Smullyan carrega uma consequência prática que quase ninguém percebe de primeira. Um mentiroso sistemático transporta a mesma informação que um honesto, com o sinal trocado. O estrago não vem da mentira, vem de não saber de qual dos dois a resposta veio.

Antes das duas portas de hoje, vale fechar um problema de três interruptores que parece pedir duas subidas e cabe numa só. A saída não está na parede nem na escada, e sim numa propriedade banal da lâmpada que quase todo mundo esquece de contar.

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I A Resposta de Ontem

O interruptor que se entrega pelo calor

Três interruptores, uma subida e o detalhe que resolve tudo.

Três interruptores idênticos na parede do térreo. Um deles acende a lâmpada trancada no sótão, os outros dois não fazem nada, e a escada só aceita ser subida uma vez.

O reflexo é acionar um deles, subir e olhar. Acesa, o problema fecha na hora. Apagada, sobram dois nomes de pé e a escada já foi gasta. Um plano que funciona em metade dos casos não é plano, é aposta.

Antes de encostar o pé no primeiro degrau, conte as respostas. São três candidatos na parede. Uma lâmpada lida do jeito comum devolve duas: acesa ou apagada. Enquanto a leitura falar duas línguas, ela não dá conta de três suspeitos.

A conta pede uma terceira resposta, e ela não vai aparecer na parede. Tem que sair da própria lâmpada, de alguma coisa que ela faça e que ninguém contou na hora de listar.

A lâmpada é incandescente, de filamento grosso. Ela não só acende: ela esquenta, e leva minutos para esfriar depois de desligada. O calor é uma segunda leitura, lenta, que guarda o que aconteceu antes de você chegar.

A lâmpada acesa conta o presente. A lâmpada morna conta o passado, e era o passado que estava faltando.

O plano cabe em quatro movimentos. Ligue o primeiro interruptor e deixe ligado por uns dez minutos. Desligue. Ligue o segundo e suba imediatamente, sem nunca tocar no terceiro.

Lá em cima, a lâmpada acesa aponta o segundo interruptor, o único que está recebendo corrente no momento da leitura. Se ela estiver apagada, encoste a mão no vidro.

Morna, o culpado é o primeiro: ficou aceso tempo suficiente para aquecer o filamento e foi desligado pouco antes da subida. Fria, sobra o terceiro, o único que nunca recebeu corrente. Três respostas para três suspeitos, e nenhum chute.

Repare no que fez o trabalho pesado. Ninguém arrumou um jeito de subir duas vezes nem descobriu uma fresta na porta. O que mudou foi a lista do que a lâmpada sabe dizer, e ela cresceu porque alguém lembrou que o filamento esquenta.

O princípio vale longe de qualquer sótão. Quando o número de respostas é menor que o número de possibilidades, não adianta caprichar no plano: falta um canal. Ele costuma estar escondido numa propriedade banal do objeto que já está na sua mão.

Guarde a palavra canal, porque o enigma que vem agora tira a lâmpada da mesa e põe duas pessoas no lugar dela. A conta de respostas vai fechar de primeira, e o aperto vai mudar de endereço: uma das duas vozes inverte tudo que passa por ela.

II O Enigma do Dia

O corredor das duas portas

Duas portas no fim de um corredor. Uma leva à liberdade, a outra devolve você ao começo. Um guardião de pé em frente a cada uma: um sempre diz a verdade, o outro sempre mente. Você tem uma única pergunta.

As duas portas são iguais: mesma madeira, mesma altura, mesma maçaneta, nenhuma placa, nenhuma marca de uso. Olhar para elas o tempo que quiser não devolve pista nenhuma.

Os dois guardiões também são iguais por fora. Nada no rosto, na roupa ou na postura separa o que mente do que não mente, e nenhum dos dois vai se apresentar.

O que eles sabem é completo. Cada um sabe qual porta leva à liberdade, sabe o que o outro é e sabe exatamente o que o outro responderia a qualquer pergunta.

As regras deles são absolutas. O honesto responde a verdade em toda pergunta, sem exceção e sem se calar. O mentiroso responde o oposto exato da verdade, também sem exceção, mesmo nas vezes em que a mentira o prejudica.

A pergunta é uma só, dirigida a um guardião só, e a resposta vem em sim ou não. Você escolhe a quem perguntar e leva o tempo que quiser para formular. Depois da resposta, a mão vai para uma das maçanetas.

Fora da regra: fazer duas perguntas, perguntar aos dois, encostar na porta para testar, ou gastar a pergunta só para descobrir quem é quem.

Onde quase todo mundo trava

O impulso é perguntar o óbvio: qual porta leva à liberdade? O honesto aponta a certa. O mentiroso aponta a errada. Você recebe um dedo apontado e continua sem saber qual dos dois casos está na sua frente.

A segunda tentativa costuma ser diagnóstica. Pergunte algo cuja resposta você já sabe, do tipo o céu é azul, e o sim ou o não denuncia o guardião. Funciona perfeitamente, e é aí que o plano quebra: a pergunta acabou e as duas portas continuam iguais.

A terceira via cai pelo mesmo buraco. Perguntar a ele se é o guardião honesto devolve sim dos dois lados, porque o mentiroso mente inclusive a respeito de si mesmo.

Duas portas, dois guardiões, uma pergunta, e nenhum jeito de saber com quem você está falando.

A aritmética aqui é generosa, ao contrário da lâmpada no sótão. São duas portas, e a resposta chega em duas formas, sim ou não. Uma leitura basta para separar duas possibilidades, e o enigma segue de pé.

O aperto mudou de natureza. Não falta resposta, falta confiança no caminho por onde ela passa. Metade das vezes o canal entrega a mensagem intacta, metade das vezes ele inverte tudo, e nada diz em qual dos dois você está.

Existe uma pergunta que resolve, ela é exata e funciona sempre, com qualquer um dos dois guardiões. Não depende de sorte nem de você adivinhar quem é quem antes de abrir a boca.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Duas portas, dois guardiões, uma pergunta, uma resposta de sim ou não, e todas as peças na mesa desde a primeira linha.

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III Sequência

Duas moedas e um palpite

Pegue duas moedas iguais e ponha uma de frente para a outra na mesa. Uma é o guardião honesto, a outra é o que mente, e você não sabe qual é qual: moedas idênticas são justamente a graça do exercício.

Quem mexe com a mão fecha mais rápido que quem tenta segurar o problema inteiro de cabeça. No papel funciona igual: duas colunas, uma para cada suposição, e a mesma pergunta testada nas duas.

1. Escreva a pergunta que você faria e responda ela duas vezes, uma supondo que o guardião à sua frente é o honesto, outra supondo que é o mentiroso. Se as duas contas apontarem portas diferentes, a pergunta está reprovada.

2. Pare de tentar descobrir quem é quem. Liste o que você precisa saber para agir e repare que a identidade do guardião não está na lista. O que você precisa é da porta.

3. Feche o palpite por escrito antes de largar o problema. Palpite guardado só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

"Dizer do que é que não é, ou do que não é que é, é falso; e dizer do que é que é, e do que não é que não é, é verdadeiro."

Aristóteles, Metafísica, livro IV, século IV a.C.

A definição de Aristóteles é o motor do mentiroso. Ele não inventa nada: pega a verdade, troca o sinal e devolve. É por obedecer à regra com essa disciplina que ele fica previsível, e previsível é a palavra mais importante daqui.

Uma mentira sistemática é uma operação, não um acaso. E toda operação que se aplica uma vez pode se aplicar duas. Falta descobrir como fazer a pergunta passar pelas duas cabeças quando só uma das duas bocas vai responder.

A Sequência é o placar de quem fecha o enigma sozinho. Um ponto para cada enunciado resolvido antes de a solução aparecer, e o placar volta a zero no dia em que você espia a resposta fora da hora. A régua é sua, e o orgulho de virar a chave também.

Ninguém está cronometrando. O enigma trabalha melhor solto: você lê agora, larga, e a resposta costuma chegar no banho ou na fila do mercado. Aberto perto da meia-noite, ele disputa espaço com o sono, e o sono ganha.

Se você fechar em dois minutos, escreva o caminho mesmo assim. A resposta sozinha não serve para o próximo problema. O método serve, e fica com quem registrou o raciocínio ainda quente.

Um último aviso de jogo limpo. A saída cabe em uma pergunta, com folga zero. Se o seu plano precisa de meia pergunta a mais, de uma olhada na reação do guardião ou de um empurrão na porta, ele ainda não é o plano.

Duas portas iguais no fim do corredor, dois guardiões calados, e uma pergunta de sim ou não para gastar.

As duas portas já estão descritas pelo enunciado. Falta decidir o que a pergunta vai medir.

"Quantas verdades cabem numa pergunta só?"