I  A Resposta de Ontem

Um corte e sete diárias pagas

Sete elos de ouro, sete noites de estalagem, e um serralheiro que cobra por corte.

Uma corrente de sete elos de ouro, uma estalagem de sete noites e uma diária que custa exatamente um elo. O hospedeiro aceita ser pago noite a noite e devolve troco em elos que já recebeu. Descubra o número mínimo de cortes na corrente.

O reflexo é cortar os sete elos e entregar um por noite. Sete cortes resolvem, o hospedeiro não reclama, e a corrente vira um punhado de argolas soltas que ninguém mais chama de corrente.

Troque a pergunta. Em vez de perguntar como entregar um elo por noite, pergunte quanto o hospedeiro precisa ter na mão no fim de cada noite. O pagamento deixa de ser uma entrega e vira uma diferença: o que fica com ele menos o que volta para o bolso.

Com a pergunta virada, um corte só resolve as sete noites.

Corte o terceiro elo da corrente. O corte solta aquele elo sozinho e parte o resto em dois pedaços, um de dois elos e outro de quatro. Ficam na mão um, dois e quatro.

Primeira noite, entregue o elo solto. Segunda noite, entregue o pedaço de dois e receba o solto de volta. Terceira noite, entregue o solto outra vez, e o hospedeiro fecha a noite com três.

Quarta noite, entregue o pedaço de quatro e receba de volta o de dois e o solto. Quinta noite, o solto. Sexta noite, o de dois em troca do solto. Sétima noite, o solto de novo, e a conta fecha em sete.

Repare no que a sequência aguenta. Ela não depende da boa vontade do hospedeiro nem de contar direito no escuro. Cada noite termina num total exato.

Faltava a pergunta guardada para o fim: quais totais os três pedaços produzem juntos. Um, dois e quatro montam todos os números de um a sete, sem buraco nenhum entre eles.

A razão é aritmética curta. Cada pedaço entra ou não entra na conta da noite, e três decisões de entrar ou não entrar cobrem oito totais, do zero ao sete.

O arranjo tem estrada de sobra fora do papel. Antes de a moeda cunhada dominar o comércio, prata e ouro circulavam cortados aos pedaços, e o pedaço valia pelo que a balança dissesse, não pelo desenho gravado nele.

Guarde o truque de contar com o que volta para o bolso, porque o enigma que vem agora troca os elos de ouro por doze moedas iguais e uma balança que responde três coisas.

II  O Enigma do Dia

Os dois pratos e a moeda que mente

As doze são iguais em tudo que a vista pega: mesmo diâmetro, mesmo brilho, mesma gravação, mesma borda. Nada além da balança separa a falsa das outras onze.

As onze legítimas pesam exatamente o mesmo entre si. A falsa difere de todas elas por uma quantidade fixa, para cima ou para baixo, e a balança acusa qualquer diferença, por menor que ela seja.

A balança tem dois pratos e nenhum mostrador, ponteiro ou número. Ela responde três coisas: o prato da esquerda desceu, o prato da direita desceu, ou os dois ficaram no mesmo nível.

Você escolhe quantas moedas põe em cada prato, desde que os dois lados recebam a mesma quantidade. Moeda pode trocar de prato entre uma pesagem e outra, e pode ficar de fora quantas vezes você quiser.

Cada pesagem pode ser decidida depois de ver o resultado da anterior. O que não muda é o teto: três leituras no total, e a resposta precisa sair da terceira.

Fora da regra: pesar uma quarta vez, sopesar na mão, trazer um peso conhecido de fora do monte, entregar duas suspeitas no lugar de uma e cravar a moeda sem dizer se ela é a leve ou a pesada.

Onde quase todo mundo trava

A primeira tentativa é dividir ao meio, seis de cada lado. A balança pende, porque a falsa está lá dentro de qualquer jeito, e nenhuma das doze sai da lista de suspeitas.

A segunda é separar em dois grupos e esquecer o terceiro. As moedas que ficam fora do prato costumam ser tratadas como se não estivessem no problema.

A terceira é responder metade da tarefa. Muita gente chega até a moeda e para ali, sem saber dizer se ela puxa para baixo ou para cima, e uma resposta pela metade não fecha o caso.

Três pesagens produzem no máximo vinte e sete leituras diferentes, e o enunciado pede vinte e quatro respostas distintas.

Repare no que a leitura devolve no fim. Não é uma moeda apontada pela balança: é uma sequência de três resultados, e a moeda culpada precisa ser a única compatível com aquela sequência, junto com o lado para o qual ela puxa.

A palavra que trava a maioria é pesar. Pesar sugere descobrir quanto uma coisa tem, e a balança de dois pratos não descobre quanto: ela compara dois montes e para por aí. A tarefa não pede o peso da moeda, pede um trio de comparações que nenhuma outra moeda consiga imitar.

Existe um arranjo de três pesagens que crava a moeda e ainda entrega o lado do defeito.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Doze moedas, uma falsa de peso desconhecido, dois pratos sem mostrador e três leituras no total.

III  Sequência

Três moedas na mesa antes das doze

Pegue doze moedas iguais da gaveta e alinhe as doze na mesa. Um caderno aberto do lado resolve a segunda parte, e o material acabou aqui.

Quem move as moedas com a mão fecha antes de quem tenta segurar doze suspeitas de cabeça. A mesa mostra na hora quais moedas ficaram fora do prato, e o papel guarda o que a memória perde.

1. Reduza antes de atacar. Esqueça as doze e responda o caso mínimo: três moedas, uma delas mais pesada, e uma pesagem só. Anote como você acha a pesada e o que a balança diz quando ela não está em prato nenhum.

2. Suba um degrau de cada vez. Com uma pesagem só, quantas moedas dá para resolver quando você já sabe que a falsa é a mais pesada? Com duas? Anote a progressão numa coluna e a regra aparece sozinha, sem fórmula decorada.

3. Feche o palpite por escrito antes de largar o problema, com a primeira divisão e o que você faz em cada um dos três resultados dela. Palpite guardado só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

A pergunta aqui tem endereço: cada pesagem é uma pergunta feita à balança, e o plano vale o que valem as três perguntas. Ninguém precisa adivinhar a moeda, e sim escolher divisões que separem os casos em partes parecidas.

O caso das três moedas ensina a parte que quase todo mundo pula. Quando os dois pratos param no mesmo nível, a resposta não some: ela aponta para as moedas que ficaram de fora, e o grupo de fora sai respondido sem custo nenhum.

Se travar, inverta a pergunta. Em vez de perguntar quantas pesagens as doze moedas exigem, pergunte quantas moedas três pesagens dão conta de resolver, e cresça o monte até passar de doze.

A Sequência é o placar de quem vira a chave sozinho. Um ponto por enigma fechado antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Ninguém está cronometrando. O enigma trabalha melhor solto: você lê agora, larga, e a resposta costuma chegar no banho ou na fila do mercado.

Um último aviso de jogo limpo. Se o seu plano precisa de uma quarta pesagem, de sopesar na mão, de um peso trazido de fora ou de entregar duas suspeitas no lugar de uma, ele ainda não é o plano.

Doze moedas iguais na bancada, uma falsa de peso desconhecido, dois pratos sem mostrador e três leituras no total.

As doze moedas já estão descritas pelo enunciado. Falta descobrir quantos casos diferentes cada pesagem consegue separar.

"Uma pesagem sozinha separa quantos casos?"

O Silêncio na Mesa

O Protocolo de 4 Tempos pra soltar uma charada e travar a conversa inteira.

Segundo a edição, qual é o número mínimo de cortes necessários para pagar sete noites de estalagem com uma corrente de sete elos de ouro?

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