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Dez chapéus e uma palavra por cabeça
Dez pessoas em fila, cada uma enxergando só quem está à frente, e uma palavra por pessoa para acertar a cor do próprio chapéu.
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Dez chapéus na fila e uma palavra cada
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Na noite de 18 de abril de 1775, em Boston, duas lanternas ficaram acesas por cerca de um minuto na torre da Christ Church, a igreja que a cidade chama de Old North. O sacristão Robert Newman subiu os degraus de madeira com a chama protegida pela mão, mostrou a luz pela janela virada para o rio Charles e desceu antes que a guarnição britânica reparasse no brilho fora de hora.
Em 1798, numa carta a Jeremy Belknap, Paul Revere descreveu o combinado que dava sentido àquela luz. Se as tropas saíssem pela água, seriam duas lanternas na torre. Se saíssem por terra, seria uma só. Do outro lado do rio, em Charlestown, os cavaleiros de sobreaviso não precisavam de mensagem nenhuma: precisavam olhar para a torre e contar.
Repare no tamanho do que atravessou o rio naquela noite. Nenhuma frase, nenhum nome, nenhum número de soldados. Uma escolha entre duas luzes, e a escolha valia por um plano inteiro.
A luz sozinha não dizia nada. Uma lanterna acesa numa torre é uma lanterna acesa numa torre, e quem visse aquilo sem estar no acordo veria um sacristão distraído. O que transformou o ponto amarelo em ordem de marcha foi a combinação fechada dias antes, quando ninguém ainda sabia qual das duas saídas os britânicos escolheriam.
Duas mensagens possíveis, uma escolhida na hora. É o menor pedaço de informação que existe.
Está aí o osso de uma família inteira de enigmas. Quando o canal é minúsculo e o combinado é feito antes, a quantidade de informação que passa não depende do tamanho da mensagem: depende de quantas mensagens diferentes você poderia ter mandado e não mandou.
Antes de pendurar lanterna nenhuma, falta fechar a conta de cinco piratas, cem moedas de ouro e uma votação em que o proponente perde a vez se não juntar metade da mesa.
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I A Resposta de Ontem
A mesa de dois decide a mesa de cinco
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Cinco piratas, cem moedas indivisíveis e uma proposta que passa com metade da mesa.
Cinco piratas repartem cem moedas de ouro, o mais velho propõe a partilha primeiro e a tripulação inteira vota. Se a proposta não juntar metade dos votos, quem propôs perde a vez e o próximo na hierarquia assume a palavra. A pergunta é quantas moedas o mais velho consegue guardar para si.
O reflexo é começar pela mesa cheia e tentar adivinhar o humor dos outros quatro. A mesa de cinco é a única que não pode ser resolvida primeiro, porque cada voto ali é comprado com o que aquele pirata receberia depois da queda da proposta, e a roda seguinte ainda não foi calculada.
Comece pelo fim. Com dois na roda sobram o quarto e o caçula, e o voto do proponente sozinho já é metade da mesa. Cem moedas para o quarto, nenhuma para o caçula, e o caçula não tem nada com que impedir.
Guarde a consequência, porque tudo lá em cima se apoia nela. O caçula sai de mãos vazias da mesa de dois, e a mão vazia faz dele o voto mais barato de toda a hierarquia.
Com três na roda, a aprovação precisa de dois votos, o do proponente e mais um. O caçula receberia zero se a mesa encolhesse, então uma moeda compra o voto dele na hora. Noventa e nove para o terceiro, nada para o quarto, uma para o caçula.
Com quatro na roda, metade da mesa são dois votos, e o segundo pirata precisa de um aliado só. O voto barato trocou de dono: quem ficaria com zero na mesa de três é o quarto. Noventa e nove para o segundo, uma para o quarto, nada para os outros dois.
Chegue à mesa cheia. Com cinco votando, metade é dois e meio, e a proposta precisa de três votos: o do mais velho e mais dois, entre pessoas cujo preço já está todo escrito.
O terceiro e o caçula ficam com zero se a proposta cair, porque a mesa de quatro paga só o quarto pirata. Uma moeda para cada um dos dois vira sim imediato, e o quarto, que já teria uma moeda garantida na roda seguinte, custaria duas.
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Noventa e oito para o mais velho, uma para o terceiro, uma para o caçula, nada para os outros dois, e a partilha passa por três votos a dois.
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Repare no que compra um voto. Não é o tamanho da fatia, é a diferença entre a fatia oferecida e o que aquele pirata levaria depois da queda da proposta.
Guarde o hábito de resolver primeiro a roda que não depende de ninguém, porque o enigma que vem agora troca as moedas por chapéus e o voto por uma palavra só.
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II O Enigma do Dia
A fila que só enxerga para frente
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Dez pessoas ficam em fila indiana, cada uma com um chapéu preto ou branco na cabeça, e cada uma enxerga apenas os chapéus de quem está à frente. Começando pela última da fila, cada pessoa diz uma única palavra em voz alta, e sai livre quem acertar a cor do próprio chapéu. Monte o combinado, fechado antes de a fila se formar, que garante a salvação de nove delas.
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A fila é indiana e todo mundo olha para a frente. Quem está no fim enxerga os nove chapéus adiante, a pessoa seguinte enxerga oito, e a primeira da fila não enxerga chapéu nenhum.
Os chapéus são sorteados no escuro, um por cabeça, e a quantidade de pretos e de brancos não é combinada nem anunciada. Podem ser dez pretos, podem ser cinco de cada.
A ordem das falas é fixa e conhecida. Começa em quem está no fim e caminha para a frente, uma por vez, e todo mundo ouve cada palavra dita.
Cada pessoa fala uma palavra só, e a palavra tem que ser preto ou branco. Nada de entonação combinada, de pausa longa, de tossir no meio ou de dizer a palavra cantando.
Sai livre quem disser a cor do próprio chapéu. Quem errar continua na fila e não atrapalha as falas seguintes, mas o erro entra na conta, e o combinado precisa deixar no máximo um.
Fora da regra: olhar para trás, tirar o chapéu, apontar, usar espelho, falar fora da vez, mudar a ordem das falas e escolher não falar.
Onde quase todo mundo trava
A primeira tentativa organiza um revezamento. Cada pessoa de trás anuncia a cor do chapéu de quem está imediatamente à frente, e a fila salva cinco com certeza. Metade fica muito longe de nove.
A segunda tentativa procura um sinal fora da palavra: falar depressa, esticar a vogal, deixar um segundo parado antes de responder. O enunciado fecha essa porta de propósito, e um plano que precisa dela não é o plano.
A palavra que a pessoa do fim diz não precisa ser a aposta dela. Ela pode ser uma afirmação sobre os outros nove chapéus, escrita no único alfabeto que a fila tem: duas cores.
Repare no que cada pessoa acumula quando chega a vez dela. Ela viu com os próprios olhos os chapéus da frente e ouviu todas as palavras ditas atrás, e as duas coisas juntas cobrem a fila inteira menos um chapéu, o dela.
Se existisse um dado único, dito lá atrás e válido para todo mundo, cada pessoa descontaria o que enxerga e o que já ouviu, e o que sobrasse seria a cor da própria cabeça. Esse dado não é a contagem de pretos à frente, que vai de zero a nove: é uma pergunta sobre essa contagem que só admite duas respostas.
A pessoa do fim é a única sem garantia, e esse é o preço combinado. Ela aposta a própria cabeça para entregar a informação que liberta as outras nove.
O enunciado está inteiro aqui em cima. Dez pessoas, duas cores, uma palavra por pessoa e um combinado fechado antes de a fila se formar.
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