I  A resposta de ontem

A trigésima primeira cadeira e a linha que a entrega

A posição que sobra sozinha num círculo de quarenta e uma pessoas com contagem de três em três é a 31, e a outra posição a ficar de pé, se a contagem parar com duas pessoas na roda, é a 16. Nenhum dos dois aparece perto de quarenta e um dividido por três, e nenhum sai de simulação feita de cabeça.

A regra que entrega os dois é curta. Comece pelo círculo de uma pessoa, onde a resposta é a própria, número 1. Suba um tamanho por vez: se a posição que sobra num círculo de n menos uma pessoas é p, no círculo de n pessoas ela vira p mais 3, e, sempre que o resultado ultrapassar n, subtraia n para voltar para dentro da roda.

Confira as primeiras linhas com a mão. Para 2 pessoas dá 2, para 3 dá 2, para 4 dá 1, para 5 dá 4. Desenhe a roda de cinco e conte: saem 3, 1, 5 e 2, e o número 4 fica sozinho. Bater no pequeno é o que autoriza confiar na tabela grande.

Marque pontos de controle no caminho, para não descobrir um erro só no fim. Para 10 pessoas a resposta é 4, para 20 é 20, para 30 é 29, para 40 é 28. A última linha fecha a conta: 28 mais 3 dá 31, que cabe dentro de quarenta e um e dispensa a subtração.

A resposta não depende de sorte nenhuma, ela nasce inteira no momento em que a roda se fecha e a ordem da contagem é combinada. Quem escolhe a cadeira 31 antes da primeira contagem já sabe o final.

A posição 16 sai do mesmo caminho, com uma tabela irmã que para quando restam duas pessoas na roda em vez de uma. Ela também sobe de três em três e também desconta o tamanho do círculo quando passa do limite, e o par que sobrevive à roda de quarenta e um é 16 e 31.

Repare no que a tabela fez com o problema. Ela trocou quarenta contagens encadeadas, que a memória perde na terceira volta, por quarenta somas de uma parcela só, que o lápis não perde nunca. O trabalho continuou existindo do mesmo tamanho, e mudou de lugar, da cabeça para a folha.

O enigma de hoje inverte o pedido. Em vez de uma conta difícil de fazer de cabeça e fácil de escrever, ele traz uma conta facílima, que qualquer pessoa faz em cinco segundos, e que devolve uma resposta impossível. O trabalho passa a ser achar onde a conta fácil mente.

II  O Enigma do dia

Encontre o defeito da conta que manda trocar duas vezes

As regras não escondem nada. Existem dois envelopes, um vale o dobro do outro, sua escolha inicial foi cega, você abriu o seu e viu cem reais, e a oferta de troca vale para qualquer valor que você tivesse encontrado lá dentro.

Duas observações para fixar antes de começar. Primeira: a conclusão de trocar não depende do número cem, ela sai igual para dez, para mil ou para um valor que você nem chegou a olhar. Segunda: qualquer argumento que recomende trocar sempre, sem olhar nada, recomenda também trocar de volta, e uma recomendação que se repete para sempre não decide nada.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é aceitar a chance de cinquenta por cento sem perguntar de onde ela veio. Ninguém informou como os dois valores foram escolhidos antes de entrarem nos envelopes, e sem essa informação a frase sobre chances iguais é uma suposição enfiada na conta por conta própria, não um dado do problema.

O segundo erro mora na notação. A conta chama de x o valor do envelope aberto e escreve o ganho possível como o dobro de x e a perda possível como a metade de x, como se as duas linhas falassem do mesmo par de envelopes. Repare que elas falam de pares diferentes: o par de cem e duzentos e o par de cinquenta e cem não são a mesma mesa.

Repare no que a troca de nomes faz com o problema. Chame o par de m e 2m e a conta muda de cara: as duas situações possíveis são receber m ou receber 2m, cada troca leva de um para o outro, e a soma que você ganharia é exatamente a soma que perderia. Nada empurra a decisão para nenhum lado.

A pergunta é essa, e ela pede o caminho, não só a sentença. Diga onde a conta de cento e vinte e cinco quebra, escreva o mesmo problema usando um nome para o par em vez de um nome para o envelope aberto, e explique por que a versão das duas gravatas cai pelo mesmo motivo, com os dois apostadores em vantagem ao mesmo tempo.

III  Sequência

Duas linhas de conta e a mesa nomeada pelo par

O material é uma folha, um lápis e nada além. Se quiser conferir com a mão depois, use duas notas de cinquenta e uma de cem e monte a mesa de verdade, mas comece pelo papel: a conta escrita resolve em duas linhas o que a mesa demora dez rodadas para sugerir.

A escrita não é enfeite. O defeito vive dentro de uma abreviação, e abreviação escondida só aparece na conta inteira, com as duas situações nomeadas lado a lado.

1. Liste as mesas possíveis, não os resultados. Se o envelope aberto tem cem, existem duas mesas compatíveis com o enunciado: a mesa de cinquenta e cem e a mesa de cem e duzentos. Escreva as duas em linhas separadas, uma embaixo da outra.

2. Troque o nome. Chame a mesa de m e 2m e escreva o que acontece em cada caso: se você abriu m, a troca leva a 2m e ganha m; se abriu 2m, a troca leva a m e perde m. Some as duas linhas e veja o resultado dar zero.

3. Volte para a conta velha e marque o ponto exato. Sublinhe o x da primeira linha e o x da segunda linha e pergunte se as duas letras valem o mesmo número. Elas não valem, e a média de cento e vinte e cinco nasce dessa confusão, não do dinheiro dentro dos envelopes.

A frase acima é o registro antigo da armadilha, e repare no que ela não diz. Kraitchik não informa quanto custou nenhuma das duas gravatas, não informa como os preços foram parar naquelas duas peças e não promete chance igual para os dois lados. O silêncio dele é exatamente o buraco por onde a suposição entra sem ser convidada.

Se travar mesmo assim, encolha o problema. Monte uma versão em que você sabe de antemão que os valores possíveis são cinquenta, cem ou duzentos, calcule a média da troca em cada caso, e veja a vantagem aparecer em um caso, sumir em outro e virar prejuízo no terceiro. A média boa depende da mesa inteira, e a conta rápida só olhava um envelope.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução aparecer, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Ninguém confere, e um placar sem plateia é o único que não se falsifica.

Um aviso de jogo limpo. Achar a explicação pronta na internet não vale ponto: o que conta é escrever as duas linhas da conta com o par nomeado e mostrar o lugar onde o mesmo símbolo trocou de valor no meio do caminho.

A charada da roda pune quem confia na memória, e a dos envelopes pune quem confia na primeira média que aparece. Uma pede uma tabela até a última linha, a outra pede um nome honesto para cada quantidade antes da primeira conta.

"Quantas trocas você já aceitou por causa de uma média calculada sobre a mesa errada?"

O Silêncio na Mesa

O Protocolo de 4 Tempos pra soltar uma charada e travar a conversa inteira.

No problema dos dois envelopes, qual é o defeito da conta que manda trocar o envelope de cem reais?

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