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Cem ilhéus de olhos azuis e uma frase óbvia
Ninguém pode falar da própria cor, todos só partem com certeza, e o visitante diz em voz alta o que cada um já enxergava.
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Uma balsa que passa toda noite à meia-noite
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Em 1969, o filósofo David Lewis publicou Convention, um livro sobre como pessoas se coordenam sem combinar nada, e nele batizou uma coisa que todo mundo usa e quase ninguém nomeia: conhecimento comum.
Não basta que todos saibam o mesmo fato. Para haver conhecimento comum, é preciso que todos saibam que todos sabem, e que todos saibam disso também, e assim por diante, sem ponto final.
A distinção parece filigrana de professor e não é. Num cruzamento, o motorista não freia só porque o sinal está vermelho para ele: ele avança no verde porque tem certeza de que o outro sabe que ele sabe que o sinal está verde.
Tire uma camada dessa pilha e a coordenação desmorona. Duas pessoas podem saber exatamente a mesma coisa, cada uma por conta própria, e mesmo assim não conseguir agir junto, porque nenhuma das duas tem permissão para contar com a certeza da outra.
Existe um jeito barato de criar a pilha inteira de uma vez. Alguém diz o fato em voz alta, diante de todos, e a partir daquele segundo cada pessoa presente sabe que as outras ouviram, sabe que as outras sabem que ela ouviu, e a escada sobe sozinha até o topo.
Aí mora o que parece feitiço. Um anúncio público que não traz nenhuma informação nova para ninguém ainda assim muda o mundo, porque o que ele acrescenta não é o fato: é o andar de cima da pilha.
O charadista costuma testar essa ideia com um enunciado que soa impossível. J. E. Littlewood registrou uma versão dela em A Mathematician's Miscellany, de 1953, com marcas na testa em vez de cor de olhos, e a estrutura é idêntica.
Antes de pisar na areia da ilha, falta fechar a conta das cem bolas, das duas urnas e da divisão que quase ninguém escreve no papel na primeira tentativa.
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I A resposta de ontem
Uma bola sozinha na urna certa
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A resposta não está em dividir bem as cem bolas. Está em usar o sorteio da moeda como um multiplicador de duas proporções que você mesmo escolhe.
Ponha uma única bola branca sozinha numa urna e jogue as noventa e nove restantes na outra, com quarenta e nove brancas e cinquenta pretas lá dentro.
Veja o que essa arrumação compra. Metade das vezes a moeda manda a mão vendada para a urna minúscula, e ali dentro não existe sorteio nenhum: só há uma bola, ela é branca, e a liberdade está decidida antes de a mão entrar.
A outra metade quase não foi machucada. A urna grande perdeu uma branca e ficou com quarenta e nove de noventa e nove, algo em torno de 49,5 por cento, porque tirar uma bola de um monte grande mal arranha a proporção dele.
Some as duas parcelas e a conta fecha assim:
| Urna com 1 bola: chance de branca | 100% |
| Urna com 99 bolas: chance de branca | 49,5% |
| Média das duas, peso igual | 74,7% |
O ganho vem inteiro do formato da média. A moeda dá cinquenta por cento de peso para cada urna sem olhar quantas bolas ela tem, então uma urna com uma bola pesa exatamente o mesmo que uma urna com quase tudo dentro.
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A divisão simétrica devolve os mesmos cinquenta por cento do monte inteiro. A divisão extrema devolve quase três em cada quatro, com as mesmas cem bolas e a mesma moeda honesta.
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Repare que nada foi escondido, trocado ou marcado. As bolas continuam idênticas ao toque, a moeda continua justa e o carrasco continua cego. O que mudou foi apenas onde cada bola estava quando o acaso começou a trabalhar.
Essa é a assinatura de uma família inteira de enigmas. A informação disponível é a mesma para todo mundo, o acaso é o mesmo, e a diferença nasce da estrutura montada antes, no único momento em que alguém ainda podia escolher.
Guarde o gesto, porque hoje ele reaparece sem urna nenhuma. Em vez de arrumar bolas, alguém vai arrumar o que cada pessoa sabe sobre o que as outras sabem, e a mudança virá de uma frase que não conta novidade a ninguém.
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II O Enigma do dia
O que o visitante disse ao desembarcar
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Cem ilhéus vivem numa ilha e todos têm olhos azuis. Não há espelho, água parada ou superfície que reflita, e a regra mais antiga do lugar proíbe qualquer um de falar sobre a cor dos olhos de quem quer que seja, inclusive a própria. Cada ilhéu enxerga perfeitamente os olhos dos outros noventa e nove. Uma balsa passa toda noite à meia-noite, e o costume manda que quem tiver certeza da própria cor embarque naquela mesma noite, sem avisar ninguém. Todos são lógicos perfeitos e sabem que os outros também são. Um visitante desembarca, olha em volta e diz em voz alta, diante de todos: vejo pelo menos uma pessoa de olhos azuis. Por que os cem partem juntos na centésima noite?
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Nenhum ilhéu sabe a própria cor. Ele vê noventa e nove pares de olhos azuis à sua frente e não tem como saber se é o centésimo azul ou o único diferente da ilha.
A regra da balsa é rígida e silenciosa. Quem alcança a certeza embarca naquela noite, quem não alcança fica, e ninguém comenta o embarque de ninguém no dia seguinte.
O visitante não sussurra e não escolhe interlocutor. Ele fala uma vez, diante de todos, e vai embora sem responder pergunta nenhuma.
Fora da regra: contar os dias em voz alta, combinar sinal, deixar bilhete, tocar no assunto por metáfora ou observar quem embarcou para deduzir a partir daí. A dedução tem que caber dentro da cabeça de cada ilhéu.
Onde quase todo mundo trava
A primeira reação é dizer que o visitante não falou nada. Cada ilhéu já via noventa e nove pessoas de olhos azuis, então a frase vejo pelo menos uma parece a informação mais inútil já dita naquela ilha.
A segunda reação é aceitar que nada muda e parar. Se a informação era velha para os cem, a vida da ilha deveria seguir igual, e noventa e nove noites de nada aconteceriam seguidas de mais nada.
A frase não entregou o fato. Ela entregou o andar de cima: agora todos sabem que todos ouviram, e ninguém pode mais fingir que a certeza do vizinho é diferente da sua.
Comece pelo caso mínimo para sentir o mecanismo. Se houvesse um único ilhéu de olhos azuis, ele veria zero azuis à sua frente, entenderia na hora que a frase falava dele e embarcaria já na primeira noite.
Agora ponha dois. Cada um vê um azul e pensa: se eu não for azul, o outro está vendo zero azuis e vai embarcar hoje. Quando a primeira noite passa e ninguém embarca, os dois descobrem a própria cor e partem juntos na segunda.
A escada já está montada com três. Cada um vê dois e espera a segunda noite passar em branco, o que só acontece se ele também for azul, e os três embarcam na terceira noite.
Repare no que está sendo usado como informação. Não é o que ninguém diz: é a noite que passa sem embarque, e cada noite vazia elimina exatamente uma hipótese da cabeça de todo mundo ao mesmo tempo.
O enunciado está inteiro aqui em cima. Cem ilhéus, nenhum espelho, uma balsa por noite, uma frase óbvia dita em público e a pergunta de por que a centésima noite é a noite.
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