I  A resposta de ontem

Um quilo seco segura a conta

O Paradoxo da Batata ganhou fama com The Universal Book of Mathematics (O livro universal da matemática), obra que o divulgador britânico David Darling publicou em 2004. Ali o problema aparece quase igual ao da lona: um personagem chamado Fred leva cem quilos de batata para casa, com 99% de água, e os deixa secar até 98%.

A palavra paradoxo, aqui, tem sentido fraco. Nada na conta se contradiz; o resultado só bate de frente com o palpite. O filósofo americano Willard Van Orman Quine chamou esse tipo de veridical paradox (paradoxo verdadeiro) num ensaio de 1962: a conclusão soa absurda e, mesmo assim, está certa.

Quine separava esse tipo de dois outros: o paradoxo falsídico (falso), cuja conclusão parece errada porque está errada mesmo, e a antinomia (contradição sem saída), em que o raciocínio correto leva a dois resultados opostos. A batata mora no primeiro grupo, o da conta certa.

O truque mora na escolha da referência. Água e matéria seca mudam juntas na porcentagem, mas só a água muda na balança. Quem quer a resposta precisa ancorar a conta na parte parada.

Com a âncora no lugar, a conta cabe em três linhas. Matéria seca: 1 quilo. Esse quilo vale 2% do total. Total: 1 dividido por 0,02, ou seja, 50 quilos.

Uma segunda leitura ajuda a enxergar o tombo. Antes, para cada quilo seco havia 99 de água. Depois, para cada quilo seco há 49. A proporção entre água e sólido caiu para menos da metade, e o peso acompanhou.

A curva escondida

Vale empurrar a secagem um pouco mais. Com 97% de água, o quilo seco vira 3% e o monte pesa 33 quilos e um terço. Com 96%, 25 quilos. Com 90%, só 10 quilos.

Os primeiros pontos percentuais são os mais caros em peso. A queda de 99% para 98% leva 50 quilos; a de 98% para 97%, menos de 17. Quanto mais seca a batata, menos a balança reage a cada ponto.

Na direção oposta, o efeito também assusta. Uma batata com 99,9% de água teria matéria seca de 100 gramas em cem quilos; secar até 99,8% já cortaria o monte para 50 quilos de novo.

A mesma estrutura aparece longe da cozinha. Uma uva virando passa, um pano molhado no varal, a lama secando no quintal: sempre que quase tudo é água, um ponto percentual a menos movimenta muito peso.

O limite do enunciado é ser idealizado. Batata de verdade perde água pela casca de forma desigual e murcha bem antes de chegar a 98%. O próprio texto avisa, entre parênteses, que são batatas puramente matemáticas, feitas para a conta fechar redonda.

II  O Enigma do dia

Duzentas pessoas numa sala

O enigma usa a engrenagem das batatas, vestida de outro jeito. Ninguém evapora; as pessoas saem pela porta, e só um grupo se mexe.

A sala troca o quilo seco por duas mulheres e a água por homens. A pergunta continua igual: quantos precisam sair para uma porcentagem quase cheia descer um ponto só.

Para começar, separe os números do enunciado:

• 200 pessoas na sala, no começo.

• 99% de homens, ou seja, 198 homens.

• 1% de mulheres, ou seja, 2 mulheres.

• Só homens saem; nenhuma mulher entra nem sai.

A primeira pista: descubra qual grupo da sala fica parado durante toda a saída.

A segunda pista: se os homens viram 98%, quanto passam a valer as mulheres?

A terceira pista: com o número de mulheres e a fatia delas, ache o total novo da sala.

A quarta pista: subtraia os homens restantes dos 198 do começo.

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é tirar 1% de 200. Dá 2 pessoas, e a conta parece encerrada. Com 2 homens a menos, sobram 196 homens em 198 pessoas, e eles ainda somam quase 99% da sala.

A segunda é ancorar a conta nos homens. Eles mudam a cada saída, e porcentagem calculada sobre um alvo móvel escapa da mão.

A terceira é tratar a segunda pergunta como continuação simples da primeira. Ir de 98% para 50% parece um salto de 48 pontos, e o número de saídas não acompanha essa diferença em linha reta.

A quarta é desconfiar do resultado e refazer a conta pelo caminho errado. Se a resposta parecer grande demais, confira pela fatia das mulheres antes de mudar de ideia.

Responda por escrito: quantos homens saem em cada caso, e quantas pessoas ficam na sala ao terminar.

III  Sequência

Cem homens saem pela porta

Para chegar a 98%, saem 100 homens. A solução anda em quatro passos:

1. As 2 mulheres não saem, então elas são a parte parada da sala.

2. Com os homens em 98%, as mulheres passam a valer 2% do total.

3. Se 2 pessoas são 2% da sala, a sala inteira tem 100 pessoas.

4. Sobram 98 homens. Dos 198 do começo, saíram 100.

A segunda pergunta usa os mesmos passos. Com homens em 50%, as 2 mulheres valem os outros 50%, então a sala tem 4 pessoas: 2 mulheres e 2 homens. Saíram 196 homens.

O contraste guarda a graça do enigma. Os primeiros 100 homens a sair movem a porcentagem um ponto só; os 96 seguintes levam a fatia deles de 98% para 50%.

As batatas seguem a mesma curva. Os primeiros 50 quilos de água tiram um ponto percentual; do monte de 50 quilos até um monte de 2 quilos, meio a meio entre água e sólido, saem só mais 48.

Quem trabalha com secagem conhece a curva na prática. A fruta desidratada perde a maior parte do peso enquanto ainda parece úmida, e os últimos pontos de umidade custam horas de estufa com pouca mudança na balança.

A regra geral cabe numa frase. Quando uma parte fixa vale p% de um todo e passa a valer q%, o todo se multiplica por p dividido por q. Na batata, 1 dividido por 2 dá a metade; na sala, a mesma divisão leva de 200 para 100 pessoas.

A fórmula também funciona ao contrário. Se o quilo seco passasse de 2% para 1%, o todo se multiplicaria por dois: bastaria devolver 50 quilos de água ao monte para ele voltar aos cem.

“Quantos quilos o monte perderia se a água caísse de 99% para 97%?”

A resposta sai da curva da seção anterior: o monte terminaria com 33 quilos e um terço, então perderia 66 quilos e dois terços, com a porcentagem descendo só dois pontos.

Teste hoje: corte uma maçã em fatias finas, pese as fatias na balança de cozinha e anote o número. Deixe tudo perto de uma janela ensolarada até a textura lembrar a de uma passa, e pese de novo. O esperado é a balança marcar perto de um quinto do peso inicial, com a fruta ainda longe de virar pó.

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EDIÇÃO SELADA

Quem leu até aqui tem mais um achado desta edição atrás do lacre.

No enigma da sala com 200 pessoas (99% homens), quantos homens precisam sair pra fatia masculina cair pra 98%?

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