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ED 088

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As 52 cartas de Gilbreath resistem à embaralhada

Em 1958, um matemático mostrou numa revista de mágicos: uma embaralhada não desfaz o vermelho e preto alternados.

Baralho embaralhado em leque sobre a mesa, cartas vermelhas e pretas em duplas alternadas.

Duplas de cartas vermelhas e pretas

▼

Uma embaralhada à americana apaga a ordem de um baralho? Apaga quase toda, mas deixa uma marca legível: se as cartas alternavam vermelho e preto antes, cada par tirado do topo depois traz uma carta de cada cor. São 26 pares, e nenhum sai repetido.

Embaralhar à americana (o riffle, em inglês) é o gesto dos cassinos: o baralho se divide em dois montes, os polegares soltam as cartas pela quina e os dois montes se intercalam num monte só. Ninguém controla quantas cartas caem de cada lado. Às vezes cai uma, às vezes caem quatro seguidas do mesmo monte.

Essa bagunça convence a plateia. Depois de ver as cartas chovendo, ninguém imagina sobrevivência de padrão nenhum. A sequência vermelho, preto, vermelho, preto some da vista: aparecem três vermelhas juntas, depois duas pretas, depois uma vermelha solta.

O padrão sobrevive escondido nas duplas. Leia as cartas de duas em duas, a partir do topo, e a mistura de cores desaparece dentro de cada dupla: primeira e segunda carta, cores diferentes; terceira e quarta, cores diferentes; e assim até a última. As três vermelhas juntas sempre se repartem entre duplas vizinhas.

Existe uma condição, e ela é pequena. Quando o baralho se divide em dois montes, a carta de baixo de um monte precisa ter cor diferente da carta de baixo do outro. Quem distribui uma pilha na mesa, carta por carta, antes de embaralhar, cumpre a condição sem pensar nela, porque a distribuição inverte a pilha.

Mágicos usam o efeito desde a década de 1960 em truques de adivinhar cores pelo tato. Matemáticos usam o mesmo efeito para estudar quanto de ordem um embaralhamento destrói.

Abaixo, primeiro o homem que descobriu o efeito e a prova curta de por que ele funciona. Depois, um enigma com 20 cartas na mesa. Por último, o truque montado passo a passo e um teste com um baralho comum.

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I A resposta de ontem

Uma revista de mágicos em 1958

Norman Gilbreath, matemático americano e mágico amador, publicou o efeito em 1958 num artigo chamado Magnetic Colors (cores magnéticas), na The Linking Ring, revista mensal da International Brotherhood of Magicians (irmandade internacional de mágicos).

A revista circulava entre profissionais e amadores do ilusionismo, longe das bibliotecas de matemática. O artigo descrevia um truque, sem demonstração formal, e os leitores receberam a receita como um segredo de ofício.

Martin Gardner leva o truque adiante

O efeito chegou aos matemáticos pelas mãos de Martin Gardner, que escrevia a coluna Mathematical Games (jogos matemáticos) na revista Scientific American. Gardner tratou do princípio na coluna de agosto de 1960 e batizou o efeito com o sobrenome do autor: princípio de Gilbreath.

Persi Diaconis, matemático da Universidade Stanford e ex-mágico profissional, e Ron Graham, matemático dos Laboratórios Bell, dedicaram ao princípio um capítulo inteiro do livro Magical Mathematics (matemática mágica), de 2011. No livro, os dois listam formas equivalentes do fenômeno e truques construídos sobre elas.

Por que funciona

A prova cabe em poucas linhas. Pense na embaralhada de baixo para cima: as cartas caem uma a uma, cada uma da base de um dos dois montes. Cada monte, sozinho, continua alternando cores, porque saiu de um baralho alternado.

Olhe as duas primeiras cartas que caem. Se vierem do mesmo monte, têm cores diferentes, porque o monte alterna. Se vier uma de cada monte, também têm cores diferentes, porque essa é a condição das bases.

Depois dessas duas, a condição continua de pé. Se as duas saíram do mesmo monte, a base dele mudou de cor duas vezes e voltou à cor original. Se saiu uma de cada, as duas bases trocaram de cor juntas e seguem diferentes. A regra se repete a cada dupla, até a última carta.

A embaralhada mistura as cartas, mas não consegue desfazer as duplas.

Gilbreath deixou o sobrenome em outro problema de 1958, sem relação com baralho. Ele escreveu os números primos em fila, anotou a diferença entre cada vizinho e repetiu a operação na fila nova, várias vezes; toda fila começava por 1. A conjectura de Gilbreath (afirmação ainda sem prova) diz que o 1 abre todas as filas, para sempre.

Andrew Odlyzko, matemático dos Laboratórios Bell, conferiu a conjectura em 1993 com os primos abaixo de 10 trilhões, e ela valeu em todos. Uma prova geral continua sem existir: conferir bilhões de casos não demonstra nada sobre os infinitos primos que vêm depois, e ninguém achou o argumento que cubra todos.

II O Enigma do dia

Vinte cartas distribuídas na mesa

Um baralho de 52 cartas alterna vermelho e preto, do topo à base. Distribua 20 cartas na mesa, uma sobre a outra, formando um monte. Embaralhe à americana esse monte com as 32 cartas que sobraram na mão. Tire as cartas do topo de duas em duas: quantos dos 26 pares saem com as duas cartas da mesma cor?

O palpite comum fica entre 10 e 13 pares. A intuição trata a embaralhada como sorteio, e num baralho sorteado ao acaso quase metade dos pares repetiria a cor.

O que conferir

Confira a base de cada monte. A carta da base do monte da mesa é a primeira que você distribuiu, a carta do topo do baralho original, vermelha. A carta da base do monte da mão é a última do baralho, preta.

Bases de cores diferentes cumprem a condição de Gilbreath. A quantidade distribuída não importa: com 20, 7 ou 31 cartas na mesa, a primeira carta distribuída vai para a base e a última do baralho continua na base da mão.

As pistas

1. Primeira pista: a embaralhada decide de qual monte cai cada carta, mas não muda a ordem das cartas dentro de um monte.

2. Segunda pista: dentro de cada monte as cores continuam alternadas, com a ordem invertida no monte da mesa.

3. Terceira pista: duas cartas seguidas do mesmo monte nunca têm a mesma cor.

4. Quarta pista: a contagem pedida é a de pares com a mesma cor, e ela pode ser zero.

Onde o raciocínio escorrega

O primeiro escorregão é olhar a sequência inteira. Ela parece caótica, com cores repetidas em trios, e o olho conclui que o padrão morreu. A pergunta pede pares fixos, contados do topo, e o trio vermelho sempre se reparte entre dois pares.

O segundo é cortar o baralho sem distribuir. Num corte simples, a base do monte de cima é a carta onde o corte parou, e ela pode ter a cor da base do outro monte. Com bases iguais, os pares falham; o conserto é passar a carta do topo para a base depois da embaralhada, e os pares voltam a sair certos.

O terceiro é contar os pares a partir de uma carta qualquer. A contagem começa na carta do topo: primeira com segunda, terceira com quarta.

A condição mora nas duas cartas da base, e o resto do baralho obedece.

Responda antes de seguir: escreva num papel o número de pares repetidos.

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III Sequência

Seis movimentos com um baralho comum

O truque sai em seis movimentos, e qualquer pessoa da plateia pode embaralhar. Separe um baralho de 52 cartas, sem curingas.

1. Arrume as cartas alternando cores, vermelha e preta, do topo à base; naipes e valores não importam.

2. Entregue o baralho a alguém e peça que distribua cartas na mesa, uma a uma, parando quando quiser.

3. Peça que essa pessoa embaralhe à americana o monte da mesa com o monte da mão, uma vez só.

4. Pegue o baralho, ponha atrás das costas e anuncie que vai separar as cores pelo tato.

5. Tire as duas cartas do topo e mostre: uma vermelha e uma preta.

6. Repita com as duplas seguintes, mais rápido a cada uma, até acabar o baralho.

A resposta do enigma é zero. Nenhum dos 26 pares repete a cor, com 20 cartas na mesa ou com qualquer outra quantidade, porque a distribuição deixa uma base vermelha e uma preta.

Uma versão com os quatro naipes

A versão mais forte do princípio, descrita por Diaconis e Graham no livro de 2011, troca as cores pelos naipes. Arrume as cartas repetindo a ordem espadas, copas, paus, ouros, treze vezes. Distribua um monte na mesa, embaralhe os dois montes, e cada grupo de quatro cartas tirado do topo traz um naipe de cada.

A prova segue a lógica das duplas, com quatro naipes no lugar de duas cores. No livro, os dois mostram a propriedade das duplas e a dos grupos de quatro como casos de um teorema só.

Uma embaralhada sozinha deixa ordem bastante para um mágico ler.

O matemático inglês G. H. Hardy escreveu: “A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns” (um matemático, como um pintor ou um poeta, é um fabricante de padrões), G. H. Hardy, A Mathematician's Apology (em defesa de um matemático), 1940. O padrão de Gilbreath sobrevive onde ninguém procura: dentro das duplas.

“Quantos pares saem com duas cartas da mesma cor?”

Zero dos 26, desde que as cartas das duas bases tenham cores diferentes antes da embaralhada.

Teste hoje: arrume um baralho alternando cores, distribua de 15 a 30 cartas na mesa, embaralhe os dois montes uma vez e confira as 26 duplas, marcando num papel quantas repetem cor. Resultado esperado: zero. Depois corte sem distribuir, com bases da mesma cor, e conte de novo: os pares repetidos aparecem, e somem quando a carta do topo passa para a base.