I  A resposta de ontem

Um jogo de texto em Moscou

Alexey Leonidovich Pajitnov, pesquisador do Centro de Computação da Academia de Ciências da União Soviética, em Moscou, escreveu a primeira versão do Tetris em junho de 1984. A máquina era um Elektronika 60, computador soviético sem tela gráfica: as peças apareciam desenhadas com colchetes e espaços de texto.

O ponto de origem foi um brinquedo de infância. Pajitnov gostava de um quebra-cabeça de pentaminós (peças de cinco quadradinhos), doze formas para encaixar numa caixa retangular. Para caber na memória da máquina, ele tirou um quadradinho de cada peça e ficou com as formas de quatro.

A troca mudou o jogo. Com cinco quadradinhos existem dezoito peças, contando os reflexos; com quatro, sete. Sete peças cabem na memória do jogador, que reconhece cada uma num relance enquanto ela cai.

O nome junta tetra, o quatro grego das peças, com tênis, o esporte preferido do autor. A regra que fez do jogo um vício veio logo depois: a linha completa some, e o tabuleiro desce.

O Tetris saiu da União Soviética em cópias de disquete e chegou ao Ocidente em 1988. Em 1989 ganhou a versão que o fez famoso, no Game Boy da Nintendo. Pajitnov não recebeu direitos por anos, porque o programa pertencia ao Estado; em 1996, os direitos voltaram para ele, que fundou a The Tetris Company com o designer holandês Henk Rogers.

Quem batizou as peças

As peças tinham nome matemático três décadas antes do jogo. Em 1953, o matemático americano Solomon W. Golomb, então estudante em Harvard, cunhou a palavra poliminó (figura de quadradinhos iguais colados lado com lado) numa palestra no clube de matemática da universidade.

Golomb contou as famílias uma a uma: um monominó, um dominó, dois triminós, cinco tetraminós, doze pentaminós e trinta e cinco hexaminós. O número cresce rápido, e não existe fórmula conhecida que dê a contagem para qualquer tamanho; os valores maiores saem de computador, casa por casa.

Em 1965, ele reuniu o assunto no livro Polyominoes (Poliminós), publicado pela Charles Scribner's Sons. Lá estão dezenas de perguntas de encaixe, e boa parte delas se resolve com o truque desta edição: pintar o tabuleiro antes de mexer nas peças.

II  O Enigma do dia

Vinte casas pintadas de xadrez

Dá pra resolver com papel quadriculado e um lápis. Desenhe as 20 casas em quatro fileiras de cinco e escureça uma sim, outra não, começando pelo canto de cima à esquerda.

A primeira pista vale para o retângulo. Em cada fileira de cinco, as cores se alternam. Conte as escuras da primeira fileira e veja o que acontece com a segunda, que começa pela cor oposta.

A segunda pista vale para a barra reta e o quadrado. Coloque cada uma em duas posições diferentes e conte as escuras que ela cobre. A resposta não muda quando a peça anda.

A terceira pista vale para o S e o L. Eles parecem tortos, mas cada um ocupa duas fileiras ou duas colunas vizinhas. Conte as escuras com a peça deitada e com a peça em pé.

A quarta pista vale para o T. Olhe a casa do meio, a que encosta nas outras três. Todas as vizinhas de uma casa escura são claras.

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é contar só a área. Vinte quadradinhos para vinte casas parece garantia, mas área igual só mostra que a arrumação não está descartada pela soma, e não que ela existe.

A segunda é testar o T numa só posição e concluir pela forma. O T tem quatro posições possíveis, e em metade delas a casa do meio é clara. O desvio de cor aparece nas quatro, só muda de lado.

A terceira é achar que o defeito está no 4 por 5. Qualquer retângulo de vinte casas (4 por 5, 2 por 10 ou 1 por 20) tem o mesmo número de casas claras e escuras, porque um dos lados é par.

Responda por escrito: as duas contagens do retângulo, a contagem de cada peça e o motivo de a soma final nunca fechar.

III  Sequência

A conta que o T desequilibra

O retângulo de 4 por 5 tem 10 casas claras e 10 escuras. A barra, o quadrado, o S e o L cobrem sempre duas de cada cor, em qualquer posição. O T cobre três de uma cor e uma da outra. A prova sai em quatro passos.

1. Suponha que as cinco peças preencham o retângulo, sem buraco e sem sobra.

2. A barra, o quadrado, o S e o L, juntos, cobrem 8 casas claras e 8 escuras.

3. Sobram 2 claras e 2 escuras para o T, que precisa cobrir exatamente essas quatro casas.

4. O T cobre 3 de uma cor e 1 da outra, nunca 2 e 2. A suposição falha, e a arrumação não existe.

A prova não testa nenhuma das centenas de arrumações possíveis. Ela mostra que todas falham pela mesma conta, antes da primeira peça cair. Matemáticos chamam o recurso de invariante (uma quantidade que nenhum movimento consegue alterar).

O argumento vale para os três retângulos de vinte casas, e por um motivo simples: em todos eles um dos lados é par, então cada fileira daquele lado traz metade de cada cor. Nenhum retângulo, de tamanho algum, recebe as cinco peças uma vez só.

Com duas peças de cada forma, a situação vira. São quarenta quadradinhos e dois T, e os dois podem cair com o desvio em cores opostas: um cobre três escuras, o outro três claras. A conta se equilibra, e o retângulo de 4 por 10 fecha com essas dez peças; o de 5 por 8 também.

O truque da cor também explica um hábito de quem joga bem. Jogadores experientes guardam o T para buracos de forma irregular, porque é a única peça que muda o equilíbrio de cores do poço; a barra, o quadrado, o S e o L nunca mudam. Um poço com buraco desequilibrado fica esperando um T, e nenhuma outra peça resolve.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

“Onde você poria os dois T no retângulo de 4 por 10?”

Teste hoje: recorte as cinco peças em papel quadriculado, pinte um 4 por 5 de xadrez e encaixe dentro dele a barra, o quadrado, o S e o L. Conte as casas que sobraram vazias: o esperado é que sejam 2 claras e 2 escuras, num formato que o T nunca cobre.

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Na prova da edição, qual peça do Tetris quebra o equilíbrio de casas claras e escuras do tabuleiro e por isso nunca cabe, com as outras quatro, no retângulo de 4 por 5?

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