I  A resposta de ontem

Um escriba raspou a prova

O pergaminho do Stomachion virou um devocionário (livro de orações) grego. O escriba Ioannes Myronas assinou a cópia e datou o trabalho: 14 de abril de 1229. Para fazê-la, desmontou um códice (livro manuscrito de folhas costuradas) do século 10 com tratados de Arquimedes, raspou a tinta, dobrou as folhas e escreveu as rezas por cima.

A raspagem não apagou tudo. A tinta antiga levava ferro e deixou marca no couro. As linhas de Arquimedes seguiram ali, quase invisíveis, correndo na perpendicular das orações.

Um volume assim recebe o rótulo de palimpsesto (pergaminho raspado e reescrito). Na Idade Média, couro de animal custava caro, e reaproveitar um livro velho de matemática para uma reza nova fazia sentido para quem só precisava da folha.

Heiberg chegou ao volume por uma nota de catálogo. Em 1899, o estudioso grego Athanasios Papadopoulos-Kerameus descreveu o manuscrito e copiou umas linhas de matemática visíveis sob a reza. Heiberg reconheceu Arquimedes naquelas linhas e viajou a Constantinopla.

Ele leu quase tudo com lupa e publicou o resultado na edição completa das obras de Arquimedes, entre 1910 e 1915. O Stomachion saiu curto: sobrevivia uma única folha, com a introdução e o começo do argumento.

Do sumiço ao leilão

Depois da Primeira Guerra Mundial, o devocionário desapareceu da biblioteca. Reapareceu com uma família francesa, guardado sem cuidado, tomado de mofo e com quatro páginas cobertas por retratos de evangelistas pintados no século 20, falsos, para valorizar o volume.

Em 1998, a casa de leilões Christie's vendeu o manuscrito em Nova York por 2 milhões de dólares a um comprador anônimo. O dono novo emprestou o pergaminho ao Walters Art Museum, em Baltimore, que montou uma equipe de conservação e de imagem.

A equipe fotografou cada folha em várias faixas de luz, do ultravioleta ao infravermelho. Depois levou páginas ao acelerador de partículas da Universidade Stanford, onde a fluorescência de raios X acendeu o ferro da tinta antiga, inclusive sob as pinturas falsas.

Com as imagens novas, o historiador Reviel Netz, da Universidade Stanford, propôs em 2003 a leitura que mudou o jogo. O tratado parece perguntar quantas montagens diferentes existem, o que faria dele um dos primeiros problemas de combinatória (o ramo da matemática que conta arranjos) da história.

A resposta veio ainda em 2003. O cientista da computação Bill Cutler rodou uma busca completa no computador e contou 536 montagens diferentes; somando os giros e os espelhos de cada uma, 17.152.

Falta uma peça na história. A folha sobrevivente para antes da pergunta final, então a leitura de Netz segue como hipótese bem fundamentada, e ninguém sabe se Arquimedes chegou a um número.

II  O Enigma do dia

Nove peças, uma fração

O enigma pede só soma de frações e, ainda assim, derruba muita gente. Os denominadores mudam de peça para peça, e a mão quer somar em cima e embaixo ao mesmo tempo.

O jogo de Arquimedes ajuda justamente aqui. Com todas as peças desenhadas sobre a grade de 12 por 12, cada fração tem um equivalente em quadradinhos inteiros, e a soma vira contagem.

Para começar, separe os dados do enunciado:

• 144 quadradinhos no quadrado inteiro.

• 14 peças, todas com cantos nos cruzamentos da grade.

• Primeiro grupo: cinco peças de 1/12 e quatro de 1/24.

• Segundo grupo: duas de 1/48, uma de 1/16, uma de 7/48 e uma de 1/6.

A primeira pista: transforme cada fração em quadradinhos, multiplicando 144 pela fração.

A segunda pista: multiplique o valor de cada tipo de peça pela quantidade de peças daquele tipo.

A terceira pista: some os quadradinhos do primeiro grupo e divida por 144, simplificando no final.

A quarta pista: o segundo grupo e o primeiro têm de somar o quadrado inteiro, então use a sobra para conferir.

Onde a conta tropeça

A primeira armadilha é somar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores. Um doze avos mais um vinte e quatro avos não dá dois trinta e seis avos; dá três vinte e quatro avos, ou seja, um oitavo.

A segunda é contar cada tipo de peça uma vez só. O enunciado lista cinco peças de 1/12, e esquecer o multiplicador derruba a soma de 84 para 18 quadradinhos.

A terceira mora no 1/16. A fração parece pedir 16 quadradinhos, e na grade de 144 ela vale 9. A peça de 7/48 engana do jeito oposto: são 21 quadradinhos, três vezes sete.

A quarta é desconfiar de uma resposta redonda. Quando a soma fecha numa fração simples, a tentação é refazer a conta procurando erro; confira pela sobra antes de mudar o resultado.

Responda por escrito: a fração do primeiro grupo, a do segundo, e quantos quadradinhos cada um cobre.

III  Sequência

Oitenta e quatro quadradinhos

O primeiro grupo cobre 7/12 do quadrado. A solução anda em quatro passos:

1. Cada peça de 1/12 ocupa 12 quadradinhos, e as cinco somam 60.

2. Cada peça de 1/24 ocupa 6 quadradinhos, e as quatro somam 24.

3. Juntas, as nove peças cobrem 84 dos 144 quadradinhos.

4. Dividindo 84 por 144 e simplificando por 12, sobra 7/12.

O segundo grupo segue o mesmo caminho. As duas peças de 1/48 somam 6 quadradinhos; a de 1/16, 9; a de 7/48, 21; a de 1/6, 24. Total: 60 quadradinhos, ou 5/12 do quadrado.

A conferência fecha sem folga: 84 mais 60 dá 144. As cinco peças do segundo grupo, mesmo com as duas maiores do jogo, cobrem menos área do que as nove do primeiro.

Arquimedes não deixou registro de como mediu cada peça, e a folha grega para antes de chegar a esse ponto. Uma versão árabe do tratado, traduzida para o alemão por Heinrich Suter em 1899, descreve a construção da figura passo a passo, e é dela que vem o desenho moderno.

Um atalho para medir peças assim apareceu só no século 19. Em 1899, o matemático austríaco Georg Alexander Pick publicou a fórmula hoje chamada teorema de Pick: a área de um polígono com cantos na grade é igual aos pontos de dentro, mais metade dos pontos da borda, menos um.

O próprio quadrado do Stomachion serve de prova. Ele tem 121 pontos de grade no interior e 48 na borda. A conta dá 121 mais 24 menos 1, ou seja, 144, a área certa sem nenhuma multiplicação de lados.

“Que fração do quadrado cobrem as duas maiores peças juntas?”

A peça de 1/6 ocupa 24 quadradinhos e a de 7/48 ocupa 21. Juntas, 45 de 144, que simplificando por 9 dá 5/16 do quadrado.

Teste hoje: desenhe um triângulo em papel quadriculado com os três cantos em cruzamentos, conte os pontos de dentro e os da borda e aplique a fórmula de Pick. O resultado tem de bater com base vezes altura dividido por dois; se não bater, um ponto da borda ficou fora da contagem. O mesmo pergaminho guardou a única cópia de outro texto grego.

Quem leu as letras apagadas do pergaminho em 1906, numa biblioteca de Constantinopla?

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