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ED 087

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As 13 figuras convexas do tangram

Em 1942, dois matemáticos chineses contaram as figuras sem reentrância que as sete peças formam. Uma delas é um triângulo.

Sete peças de tangram em madeira espalhadas sobre a mesa, ao lado de um triângulo montado.

Sete peças, um triângulo e um quadrado

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Quantas figuras saem das sete peças do tangram? Se vale qualquer silhueta, gato, barco, homem correndo, a conta passa de milhares e segue aberta. Se a figura precisa ser convexa (sem nenhum canto virado para dentro), a resposta é curta: 13.

O teste da convexidade cabe num elástico. Passe um elástico em volta da figura montada: se ele encosta na borda inteira, a figura é convexa. Se sobra um vão entre o elástico e as peças, existe uma reentrância, e a figura sai da lista. Um quadrado passa no teste; uma estrela de cinco pontas, não. O gato do tangram tem orelhas, rabo e pescoço, e o elástico deixa vãos em todos eles.

As peças são sempre as mesmas: dois triângulos grandes, um médio, dois pequenos, um quadrado e um paralelogramo (quadrilátero de lados opostos paralelos, com cara de losango achatado). Juntas, cobrem um quadrado. Toda montagem honesta usa as sete, sem sobrepor nenhuma e sem deixar buraco.

Os ângulos explicam por que a lista é curta. Cada canto de peça mede 45, 90 ou 135 graus. Numa figura convexa, os ângulos externos (o quanto a borda gira em cada canto) somam 360 graus, e nenhum deles pode ser menor que 45, então o contorno tem no máximo oito lados. Entre as figuras do tangram, nenhuma passa de seis.

Das 13, uma só é triângulo. As outras se dividem em seis quadriláteros, dois pentágonos e quatro hexágonos, e o quadrado da caixa, aquele que todo mundo desmonta primeiro, é apenas um dos seis quadriláteros.

Abaixo, primeiro os dois matemáticos que transformaram um brinquedo de salão em teorema, e o método que usaram para provar que a lista acaba em 13. Depois, o enigma: montar o único triângulo com as sete peças. Por último, a montagem passo a passo e um teste com papel, tesoura e relógio.

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I A resposta de ontem

Uma prova de quatro páginas em 1942

Fu Traing Wang e Chuan-Chih Hsiung, dois matemáticos chineses da Universidade de Zhejiang, publicaram em 1942 o artigo A Theorem on the Tangram (um teorema sobre o tangram) no American Mathematical Monthly, a revista da Mathematical Association of America. O texto ocupa quatro páginas e responde a uma pergunta que o brinquedo carregava havia mais de um século.

A universidade dos dois funcionava longe de casa. Com a invasão japonesa, a Universidade de Zhejiang deixou Hangzhou em 1937 e passou anos em mudança pelo interior, até se instalar em Zunyi, na província de Guizhou, em 1940. A prova sobre um brinquedo saiu de uma escola em fuga.

Um brinquedo com mais de um século

O nome chinês do jogo é qiqiaoban (sete tábuas da habilidade). O livro de problemas mais antigo conhecido saiu na China em 1813, e em 1817 o jogo já era moda na Europa e nos Estados Unidos, levado por navios de comércio.

Em 1903, o criador de enigmas americano Sam Loyd publicou The Eighth Book of Tan (o oitavo livro de Tan), que atribuía o jogo a um deus chamado Tan, quatro mil anos antes. A história era invenção do próprio Loyd, e a lenda circulou por décadas como se fosse registro antigo.

Como se prova um número

Wang e Hsiung trocaram as peças por uma unidade só. As sete peças podem ser divididas em 16 triângulos iguais ao triângulo pequeno: quatro em cada grande, dois no médio, dois no quadrado, dois no paralelogramo e um em cada pequeno.

Com essa unidade, toda figura convexa possível vira um problema de contagem. Cada lado da figura mede um número inteiro de catetos ou de hipotenusas do triângulo pequeno (cateto é cada um dos dois lados que formam o ângulo reto; hipotenusa, o lado maior, oposto a ele).

Os dois listaram os contornos convexos que 16 triângulos soltos conseguem formar e testaram cada um contra as sete peças do jogo. Alguns contornos existem com os triângulos soltos e somem quando os triângulos estão colados em peças grandes. Sobram 13.

Um brinquedo de silhuetas sem fim tem só 13 contornos sem reentrância.

Entre os seis quadriláteros estão o quadrado de partida e um retângulo com o comprimento igual ao dobro da largura. Os hexágonos lembram retângulos com dois cantos cortados em 45 graus.

A prova encerrou a pergunta para as figuras convexas. Para as silhuetas com reentrância, ninguém tem a lista completa: cada encaixe parcial abre novas formas, e nenhuma contagem publicada esgota o catálogo.

II O Enigma do dia

Sete peças, um triângulo só

Use as sete peças do tangram, sem sobrepor nenhuma e sem deixar buraco, e monte um triângulo. Ele é o único triângulo entre as 13 figuras convexas. Tamanho: o ângulo reto fica embaixo, à esquerda, e cada cateto do triângulo final mede o dobro do cateto de um triângulo grande.

A primeira tentativa costuma ser empilhar as peças por tamanho, da maior para a menor, a partir da base. Ela trava no terceiro ou quarto encaixe, quando sobra um vão em forma de dente que nenhuma peça restante preenche.

O que contar

Antes de mexer nas peças, confira a área. O triângulo final precisa ter os mesmos 16 triângulos pequenos de área que as sete peças somam, e o tamanho dado no enunciado garante a conta: um triângulo com o dobro do cateto do grande tem quatro vezes a área dele, e quatro vezes quatro dá 16.

Depois, olhe os cantos. O triângulo final tem dois cantos de 45 graus e um de 90. Só peças com canto de 45 graus encaixam nas duas pontas, e as candidatas naturais são as que ocupam mais espaço.

As pistas

1. Primeira pista: os dois triângulos grandes vão para as duas pontas agudas, um em cada ponta.

2. Segunda pista: com os dois grandes no lugar, sobra um quadrado vazio no canto do ângulo reto, com lado igual ao cateto do triângulo grande.

3. Terceira pista: esse quadrado vazio se monta com as cinco peças restantes, e o quadrado pequeno vai no próprio canto.

4. Quarta pista: o triângulo médio entra de pé, com o lado maior encostado no triângulo grande da direita.

Onde a montagem escorrega

O primeiro escorregão é trocar o médio por um grande. O lado maior do médio tem o mesmo comprimento do cateto do grande, e os dois parecem intercambiáveis na ponta. Não são: o médio tem metade da área e deixa um buraco.

O segundo é esquecer de virar o paralelogramo. Ele é a única peça do jogo que muda quando você a vira de face, como uma luva esquerda e uma direita. Se o encaixe parece certo e não bate, vire a peça.

O terceiro é largar o quadrado pequeno no meio da figura. No meio, ele cria quatro vãos de uma vez; no canto, encosta em dois lados retos e deixa só um.

Quem resolve o triângulo resolve antes um quadrado menor dentro dele.

Monte antes de seguir. Se travar, desmonte tudo e recomece pelos dois grandes.

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III Sequência

Os dois grandes nas pontas

O triângulo sai em seis movimentos. Imagine o triângulo final com o ângulo reto embaixo, à esquerda, a base deitada para a direita e o lado vertical subindo.

1. Ponha um triângulo grande na ponta da direita, com o ângulo reto dele no meio da base e a ponta tocando o canto direito.

2. Ponha o outro triângulo grande na ponta de cima, com o ângulo reto no meio do lado vertical e a ponta tocando o alto.

3. Coloque o quadrado pequeno no canto do ângulo reto, encostado na base e no lado vertical.

4. Encaixe um triângulo pequeno à direita do quadrado, deitado na base, fechando o espaço até o triângulo grande.

5. Ponha o triângulo médio de pé, com o lado maior colado ao triângulo grande da direita e a ponta apontando para o centro do quadrado vazio.

6. Complete o alto com o paralelogramo inclinado logo acima do quadrado pequeno e o último triângulo pequeno no canto que sobra, junto ao lado vertical.

As cinco peças menores formaram um quadrado com lado igual ao cateto do grande. É a mesma área que elas ocupam no quadrado da caixa, só que lá elas formam um triângulo, e aqui trocam de forma sem mudar de tamanho.

O parentesco com a prova

A montagem repete, em escala pequena, o método de Wang e Hsiung: em vez de testar as sete peças soltas, reduzir o problema a uma área menor e conhecida. Aqui, o triângulo virou um quadrado no canto; na prova de 1942, cada figura virou uma soma de 16 triângulos pequenos.

No quadrado da caixa, os dois grandes dividem um cateto e ficam lado a lado, com as pontas se tocando no centro. No triângulo, eles se separam em pontas opostas. As mesmas sete peças, com os dois grandes em lugares diferentes, dão contornos diferentes.

Trocar o lugar dos dois triângulos grandes muda o contorno inteiro.

George Pólya, matemático húngaro, deixou o conselho que serve a quem travou na montagem: “If you cannot solve the proposed problem, look around for an appropriate related problem” (se você não consegue resolver o problema proposto, procure um problema parecido que consiga), George Pólya, How to Solve It (como resolver), 1945. O triângulo do tangram fica fácil quando vira o problema do quadrado no canto.

“Quantas figuras convexas as sete peças do tangram formam?”

13: um triângulo, seis quadriláteros, dois pentágonos e quatro hexágonos, pela prova de Wang e Hsiung publicada em 1942.

Teste hoje: desenhe um quadrado de 16 centímetros numa folha, corte as sete peças pelo desenho de qualquer caixa de tangram, embaralhe e monte o triângulo sem olhar os passos, cronometrando. Depois embaralhe de novo e repita. Se a segunda montagem levar menos de um minuto, o método dos dois grandes nas pontas ficou na sua mão.