I  A resposta de ontem

O mestre da escola do palácio

Alcuíno de York nasceu na Nortúmbria, no norte da Inglaterra, por volta de 735. Estudou na escola da catedral de York, uma das melhores bibliotecas da Europa daquele século, e virou mestre e bibliotecário da mesma escola.

O encontro que mudou a vida dele aconteceu em Parma, na Itália, em 781. Carlos Magno voltava de Roma, conheceu o monge e o convidou para ensinar na corte franca. Alcuíno aceitou e passou quase 15 anos no círculo do rei.

Na corte, ele comandou a escola palatina (a escola do palácio), que formava os filhos do rei, os jovens nobres e o próprio Carlos Magno, aluno tardio de leitura e de conta. O programa seguia as sete artes liberais: gramática, retórica e lógica de um lado, aritmética, geometria, música e astronomia no outro.

Alcuíno encerrou a carreira como abade do mosteiro de São Martinho, em Tours, na França, onde viveu até 804. Lá, a oficina de copistas espalhou pela Europa uma letra redonda e legível, a minúscula carolina, de onde descende o desenho das letras minúsculas que você lê agora.

O caderno de charadas

As Propositiones sobreviveram em cópias feitas à mão nos mosteiros. Nenhuma traz a assinatura de Alcuíno, e a autoria segue como atribuição: o texto combina com o ensino dele, mas falta prova direta.

O indício mais citado está numa carta. Escrevendo a Carlos Magno por volta de 799, Alcuíno conta ter enviado figuras de aritmética sutil, para alegrar o rei. Os estudiosos leem a frase como uma possível menção ao caderno, sem certeza de que se trate do mesmo texto.

A confusão de autor tem outro capítulo. Uma edição impressa no século XVI pôs as charadas entre as obras de Beda, o Venerável, monge inglês morto em 735. A atribuição a Alcuíno voltou a prevalecer quando os manuscritos mais antigos foram comparados.

O conteúdo vai da conta de cozinha à lógica pura. Um problema pede quantos pombos cabem numa escada de 100 degraus, com 1 no primeiro, 2 no segundo e assim por diante: a resposta do manuscrito é 5.050, achada somando os degraus aos pares.

Outro manda uma lesma atender ao convite de uma andorinha a uma légua de distância, andando uma polegada por dia. A lesma chega em 246 anos e 210 dias. O problema 18 traz uma travessia de rio num barco pequeno, a mais copiada da coleção.

Há até uma charada sem solução. Ela pede para abater 300 porcos em três dias, sempre em número ímpar, e o próprio texto avisa que a conta não fecha: a historinha serve para repreender os meninos que tentassem resolvê-la.

II  O Enigma do dia

Cem bocas e cem medidas

O enunciado é o problema 34 do caderno. No original, a medida é o módio (medida romana de grão, perto de 9 litros), e o texto latino vai direto ao ponto:

“Um pai de família tinha uma casa de cem pessoas e mandou dar a elas cem módios de grão: três a cada homem, dois a cada mulher e meio a cada criança” (Propositiones ad acuendos juvenes, problema 34, por volta do ano 800).

Para começar, anote as regras no papel:

• Pessoas: 100 no total.

• Grão: 100 medidas.

• Homem: 3 medidas.

• Mulher: 2 medidas.

• Criança: meia medida.

A primeira pista: a média dá 1 medida por pessoa. Todo adulto fica acima dela, e toda criança fica abaixo, devolvendo meia medida para o bolo comum.

A segunda pista: um homem e quatro crianças formam um bloco fechado. São 5 pessoas e 3 mais 2 medidas, ou seja, 5 medidas. Cada bloco desses respeita a média sozinho.

A terceira pista: uma mulher e duas crianças fazem o mesmo. São 3 pessoas e 2 mais 1 medida, ou 3 medidas. A casa inteira se monta empilhando blocos de 5 e blocos de 3.

A quarta pista: a soma dos blocos precisa dar 100 pessoas. Escolha quantos blocos de homem entram e veja se o resto divide por 3 sem sobra.

Onde a conta escorrega

O primeiro escorregão é chutar números redondos. Com 10 homens, 20 mulheres e 70 crianças, o grão dá 30 mais 40 mais 35, total de 105 medidas, e a casa passa do estoque.

O segundo é tirar uma das três classes. Com 20 homens e 80 crianças, as duas contas fecham, mas a casa fica sem mulher, e o enunciado pede as três.

O terceiro é esquecer a meia medida. Ela obriga as crianças a virem em número par, ou o grão termina com metade de uma porção cortada no meio.

O quarto é parar na primeira resposta que fecha. O manuscrito imprime uma divisão só, e quem para nela perde o melhor do problema.

Responda por escrito: quantos homens, quantas mulheres e quantas crianças, e quantas divisões diferentes você achou com as três classes presentes.

III  Sequência

Seis casas cabem na conta

O manuscrito responde com 11 homens, 15 mulheres e 74 crianças. Os homens levam 33 medidas, as mulheres 30 e as crianças 37, total de 100. As cabeças somam 11 mais 15 mais 74, também 100. A montagem pelos blocos anda em quatro passos:

1. Escreva os dois blocos: homem com quatro crianças vale 5 pessoas; mulher com duas crianças vale 3.

2. Escolha um número de homens e multiplique por 5 para saber quantas pessoas os blocos deles ocupam.

3. Tire o resultado de 100 e divida o resto por 3 para achar o número de mulheres.

4. Teste os homens de 1 a 19 e guarde só os casos em que a divisão por 3 não deixa sobra.

Pelos passos, 11 homens ocupam 55 pessoas. Sobram 45, que divididas por 3 dão 15 mulheres. As crianças são 4 vezes 11 mais 2 vezes 15, ou seja, 74.

A resposta que o caderno escolheu

O teste dos passos devolve seis casas possíveis, todas com as três classes presentes:

• 2 homens, 30 mulheres e 68 crianças.

• 5 homens, 25 mulheres e 70 crianças.

• 8 homens, 20 mulheres e 72 crianças.

• 11 homens, 15 mulheres e 74 crianças.

• 14 homens, 10 mulheres e 76 crianças.

• 17 homens, 5 mulheres e 78 crianças.

Por que o manuscrito escolheu a quarta não se sabe. O texto não explica o método nem diz que existem outras divisões, e nenhuma cópia antiga traz comentário sobre a escolha.

O caderno tem um problema irmão, o 32, com 20 pessoas e 20 módios nas mesmas porções. Nesse, a resposta é única com as três classes: 1 homem, 5 mulheres e 14 crianças. A versão das 100 medidas multiplicou as cabeças e, junto, as saídas.

O molde é mais antigo que Alcuíno. Na China, o Zhang Qiujian suanjing (Manual de cálculo de Zhang Qiujian), do século V, pede 100 aves por 100 moedas, entre galos, galinhas e pintinhos, e lista três respostas.

Hoje, contas desse tipo se chamam equações diofantinas (equações que só aceitam números inteiros), em homenagem a Diofanto de Alexandria, matemático grego do século III. A criança de Alcuíno não pode ser dividida, e a regra dos inteiros nasce dela.

“Quantas casas fecham as duas contas?”

Seis, com homens, mulheres e crianças presentes. Sete, se a casa puder ficar sem mulher, com 20 homens e 80 crianças.

Teste hoje: passe o problema irmão, 20 pessoas e 20 medidas, para alguém da casa e cronometre. Abaixo de 10 minutos, a pessoa achou sozinha 1 homem, 5 mulheres e 14 crianças, a única divisão possível.

No problema 34 das Propositiones, qual é a divisão de homens, mulheres e crianças que o manuscrito apresenta como solução para repartir as 100 medidas de grão entre as 100 pessoas da casa?

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