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ED 068

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A pilha de 4.900 balas vira um quadrado de 70 por 70

Em 1875, Édouard Lucas perguntou qual pilha de balas de canhão se espalha num quadrado perfeito. Acima de uma bala, só uma serve: a de 24 camadas.

Pirâmide de balas de canhão em camadas quadradas e o quadrado plano formado por elas.

Pirâmide de 24 camadas, 4.900 balas

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Dá para desmontar uma pirâmide de balas de canhão e espalhar as balas no chão num quadrado perfeito, sem sobrar nenhuma? Dá, mas com uma pilha só: a de 24 camadas, com 4.900 balas, que forma um quadrado de 70 por 70.

A pilha é a dos fortes antigos. A camada de baixo é um quadrado de balas, a seguinte tem uma fileira a menos em cada lado, e assim por diante até a bala solitária do topo. Uma pilha de três camadas tem 9 balas embaixo, 4 no andar do meio e 1 em cima: 14 no total.

Contar essas pilhas já foi assunto de navio de guerra. Em 1591, o navegador inglês Walter Raleigh pediu ao matemático Thomas Harriot uma regra para saber quantas balas havia numa pilha só de olhar para ela, sem desmontar. Harriot entregou tabelas para pilhas de base quadrada, triangular e retangular.

O assunto rendeu mais do que Raleigh pediu. Harriot escreveu a Johannes Kepler sobre o empilhamento das balas, e Kepler afirmou em 1611 que nenhum arranjo de esferas iguais ocupa o espaço melhor do que a pilha dos fortes. A prova dessa afirmação só saiu em 1998, assinada pelo matemático americano Thomas Hales, com ajuda pesada de computador.

O problema desta edição é mais curto de enunciar. Some as camadas de uma pilha quadrada: 1, depois 1 + 4 = 5, depois 14, 30, 55, 91. Algum desses totais é um quadrado perfeito (um número como 25 ou 49, igual a outro número vezes ele mesmo)? Fora o 1, nenhum deles.

Os totais crescem, e o quadrado não aparece na camada 10, nem na 15, nem na 20. Aparece na 24, com 4.900 balas. Depois dela, nunca mais, e provar esse nunca mais custou 43 anos de tentativas.

A seguir: o francês que lançou o desafio e o inglês que concluiu a prova, um enigma de pilhas para resolver com lápis, e a solução, com um atalho que mostra por que o 24 é especial.

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I A resposta de ontem

A carta de Lucas e a prova de Watson

François Édouard Anatole Lucas, matemático francês nascido em Amiens em 1842, publicou em 1875 um desafio na revista Nouvelles Annales de Mathématiques (Novos Anais de Matemática), onde professores de Paris trocavam problemas. A pergunta: qual pilha de balas em camadas quadradas pode ser desmontada e rearranjada num único quadrado plano?

Em linguagem de hoje, Lucas pedia todos os números n para os quais a soma 1² + 2² + ... + n² dá um quadrado perfeito. É uma equação diofantina (uma equação em que só valem respostas em números inteiros), porque meia bala não existe.

Lucas afirmou haver só duas respostas: a pilha de uma bala e a pilha de 24 camadas. Mostrar o 24 é fácil, basta somar. Difícil é garantir que nenhuma outra pilha, de tamanho algum, funciona também.

Em 1876, o professor francês Moret-Blanc publicou uma tentativa de prova na mesma revista, e o próprio Lucas publicou outra em 1877. As duas tinham furos: cobriam vários casos e deixavam outros sem argumento.

Lucas é mais lembrado por outro brinquedo. Em 1883 ele lançou a Torre de Hanói, o quebra-cabeça dos discos de tamanhos diferentes, assinando como Professor N. Claus de Siam, anagrama de Lucas d'Amiens.

Somar até 24 é fácil; difícil é provar que, depois dela, nenhuma pilha volta a fechar o quadrado.

Como Watson resolveu a questão

A prova completa saiu em 1918, assinada pelo matemático inglês George Neville Watson no periódico Messenger of Mathematics (Mensageiro da Matemática). Watson não ficou na aritmética: usou funções elípticas (uma família de funções do cálculo avançado, nascida do cálculo do comprimento de arcos de elipse).

O argumento reescreve a pergunta de Lucas como um problema sobre uma curva elíptica (uma curva definida por uma equação de terceiro grau) e mostra que os pontos de coordenadas inteiras dessa curva se esgotam em poucos casos. Entre eles, só o 1 e o 24 descrevem pilhas reais.

Por décadas, a pergunta pareceu exigir essa artilharia pesada. Em 1985, o matemático chinês Ma Degang publicou uma prova com ferramentas elementares, e em 1990 o canadense W. S. Anglin publicou na revista American Mathematical Monthly uma versão de poucas páginas, ao alcance de um bom aluno de graduação.

O número 4.900 ainda reapareceu longe dos fortes. Nos anos 1980, o matemático inglês John Horton Conway usou a igualdade 0² + 1² + ... + 24² = 70² para construir a rede de Leech (um arranjo de esferas em 24 dimensões, o mais apertado possível nesse espaço). A pilha de Lucas virou peça de geometria em dimensão alta.

II O Enigma do dia

Pilhas de até dez camadas

Um forte guarda balas em pilhas de base quadrada. Primeira pergunta: quantas balas tem uma pilha de 10 camadas? Segunda: entre as pilhas de 2 a 10 camadas, alguma pode ser espalhada num quadrado perfeito? Terceira: sem somar camada por camada, mostre que a pilha de 24 camadas tem 4.900 balas.

Antes das pistas, um combinado sobre a pilha: toda camada é um quadrado cheio, a de baixo com n balas de lado, a de cima com uma só. Nenhuma camada pula tamanho e nenhuma bala fica solta.

Comece pela tabela. Escreva os quadrados de 1 a 10 numa coluna e, na coluna seguinte, o total acumulado. A camada 3 soma 9 ao total 5 e chega a 14.

A primeira pista trata da segunda pergunta. Compare cada total com os quadrados vizinhos: 14 fica entre 9 e 16, 30 fica entre 25 e 36. Um total só é quadrado se cair exatamente sobre um deles.

A segunda pista trata da terceira pergunta. Existe uma fórmula para a soma dos quadrados de 1 a n: multiplique n, o número seguinte e o dobro de n mais um, e divida o produto por 6. Teste a fórmula na pilha de três camadas antes de confiar nela.

A terceira pista trata do quadrado. Depois de aplicar a fórmula ao 24, não multiplique tudo de cara. Faça a divisão por 6 primeiro e olhe os três fatores restantes.

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é contar a pilha como um cubo: 10 camadas de 100 balas, 1.000 no total. As camadas encolhem, e o total real fica bem abaixo.

A segunda é confundir a pilha quadrada com a triangular, de base em forma de triângulo. Nela as camadas valem 1, 3, 6, 10, e os totais mudam todos.

A terceira é parar no 10 e concluir que nenhuma pilha grande funciona. A tabela até 10 só mostra a demora do quadrado em aparecer, sem provar nada sobre as camadas seguintes.

Uma pilha de balas esconde três números, e o enigma é saber quando o produto deles vira quadrado.

Responda por escrito: o total da pilha de 10 camadas, a lista dos totais de 2 a 10 e os três fatores do caso 24.

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III Sequência

Três quadrados escondidos no 24

Pilha de 10 camadas: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385 balas. A fórmula confirma: 10 × 11 × 21 = 2.310, e 2.310 dividido por 6 dá 385.

Totais de 2 a 10: 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285 e 385. Nenhum é quadrado. Os mais próximos são 140 e 285, ambos a 4 balas de um quadrado (144 e 289).

Pilha de 24: a fórmula pede 24 × 25 × 49 ÷ 6. Dividindo o 24 por 6 primeiro, sobram 4 × 25 × 49. Os três fatores são quadrados: 2 × 2, 5 × 5 e 7 × 7.

Produto de quadrados é quadrado. Então 4 × 25 × 49 = (2 × 5 × 7)² = 70², ou 4.900 balas espalhadas num quadrado de 70 por 70.

O atalho explica a raridade. A fórmula junta três números quase sem fator comum, e para o produto virar quadrado as partes precisam se encaixar. No 24, as três se encaixam juntas; Watson provou em 1918 que, com mais de uma camada, nenhum outro tamanho repete a façanha.

Para conferir uma pilha quadrada qualquer, siga quatro passos.

1. Multiplique o número de camadas pelo número seguinte.

2. Multiplique o resultado pelo dobro das camadas mais um.

3. Divida por 6: sai o total de balas.

4. Procure um número inteiro cujo quadrado dê esse total.

A pergunta de Lucas tem uma prima. Na pilha de base triangular, os totais 1, 4, 10, 20, 35 seguem outra fórmula: camadas vezes o seguinte vezes o próximo, dividido por 6. Em 1878, o matemático holandês A. J. Meyl provou que só as pilhas de 1, 2 e 48 camadas dão quadrado.

Entre todas as pilhas quadradas maiores do que uma bala, só a de 24 camadas desmonta num quadrado sem sobra.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

“Quantas balas tem a pilha triangular de 48 camadas, e qual o lado do quadrado formado por elas?”

Teste hoje: aplique a fórmula da pilha triangular ao 48, dividindo pelo 6 antes de multiplicar, e cronometre. O esperado é 48 × 49 × 50 ÷ 6 = 8 × 49 × 50 = 19.600 balas, um quadrado de 140 por 140, em menos de dois minutos; se passar disso, refaça a conta começando pela divisão.