I  A resposta de ontem

Da tesoura à prova

David Smith, gráfico aposentado de Bridlington, cidade litorânea de East Yorkshire, no norte da Inglaterra, tinha um passatempo de geometria: recortar polígonos em cartolina e testar se eles cobriam a mesa sem deixar vão. Em novembro de 2022 ele montou uma forma de 13 lados que se recusava a formar fileiras.

Para desenhar as candidatas, Smith usava o PolyForm Puzzle Solver (programa que monta quebra-cabeças de peças geométricas), criado pelo cientista da computação Craig S. Kaplan, professor da Universidade de Waterloo, no Canadá. A peça nasce de uma malha de hexágonos: cada hexágono se corta em seis pipas (quadriláteros no formato de pipa de papel), e o chapéu junta oito delas.

Smith percebeu que conseguia cobrir áreas cada vez maiores, sempre sem repetir o desenho. Escreveu para Kaplan, que testou a forma no computador e chamou dois colegas: Joseph Samuel Myers, desenvolvedor de software em Cambridge, e Chaim Goodman-Strauss, matemático da Universidade do Arkansas.

O artigo An aperiodic monotile (Uma peça única aperiódica, ou seja, sem padrão que se repete) apareceu no arXiv, o repositório público de artigos científicos, em 20 de março de 2023. A versão revisada saiu em 2024 na revista Combinatorial Theory, assinada pelos quatro.

A busca tinha começado décadas antes. Robert Berger publicou em 1966 o primeiro conjunto de peças que só cobre o plano sem repetição: eram 20.426 formas diferentes. Raphael Robinson baixou para seis peças em 1971, e Roger Penrose chegou a duas em 1974, com as pipas e dardos que levam o sobrenome dele.

De duas peças para uma demorou quase meio século. O passo final veio de um amador, com uma ferramenta gratuita e uma pilha de cartolina.

Como se prova que nunca repete

Encaixar mil peças não prova nada: o padrão poderia voltar na peça mil e uma. A equipe apresentou duas provas independentes, cada uma suficiente sozinha.

A primeira agrupa os chapéus em blocos maiores, que se combinam em blocos ainda maiores, numa escada sem fim. Matemáticos chamam o método de substituição (trocar cada bloco por uma versão ampliada de si mesmo), e um piso montado assim não admite período.

A segunda usa uma família de formas. O chapéu pertence a uma série contínua de polígonos, que inclui a tartaruga, outro parente aperiódico. A equipe mostrou que, se o chapéu admitisse um piso periódico, as formas vizinhas na série também admitiriam, e as contas de área entre elas dariam contradição.

Restou uma ressalva: o chapéu precisa de cópias espelhadas. Em maio de 2023 a mesma equipe publicou o Spectre (Espectro), uma peça de lados curvos que cobre o plano sem repetir e sem nenhuma cópia espelhada. Smith, que nunca publicou artigo antes, aparece como primeiro autor dos dois trabalhos.

II  O Enigma do dia

Oito pipas e um espelho

Desenhe uma malha de hexágonos e, em cada um, ligue o centro ao meio de cada lado. Cada hexágono vira seis pipas, todas do mesmo tamanho. O chapéu ocupa oito dessas pipas, coladas em sequência.

A primeira pista vale para a área. Se seis pipas fazem um hexágono, conte quantos hexágonos cabem em oito pipas e escreva o resultado como fração.

A segunda pista vale para a contagem. Some as duas partes da proporção: 6,85 normais e 1 espelhada formam um grupo de 7,85 peças. Descubra que parte desse grupo é a espelhada e aplique a 100.

A terceira pista vale para a repetição. Imagine que o desenho se repetisse: haveria um bloco-molde, com uma quantidade inteira de peças normais e outra de peças viradas, copiado lado a lado até cobrir tudo.

Nesse caso, a proporção do piso inteiro seria a do bloco-molde. Pergunte que tipo de número sai de uma divisão entre dois inteiros.

A quarta pista: o valor 6,85 é um arredondamento. O número exato é a quarta potência da razão áurea, φ⁴ (fi elevado a quatro, com fi perto de 1,618).

Onde o raciocínio escorrega

A primeira armadilha é dividir 8 por 6 e parar no 1,33 da calculadora. A fração exata, 4/3, diz mais: o chapéu vale um hexágono e um terço.

A segunda é calcular 1 em 6,85 em vez de 1 em 7,85. A peça espelhada também entra no total do grupo.

A terceira é achar que mosaico sem repetição é mosaico bagunçado. O chapéu segue regras rígidas de encaixe; ele só nunca volta ao desenho anterior por deslocamento.

Responda por escrito: a área em hexágonos, quantos chapéus virados há em cada 100 e o motivo de a proporção barrar a repetição.

III  Sequência

A conta que barra o padrão

Área: oito pipas divididas por seis pipas por hexágono dão 8/6, ou seja, 4/3. Cada chapéu ocupa um hexágono e um terço da malha.

Contagem: o grupo tem 6,85 + 1 = 7,85 peças, e a espelhada é 1 delas. 100 ÷ 7,85 dá cerca de 12,7. De cada 100 chapéus, uns 13 estão virados ao avesso.

Repetição: num piso periódico, a proporção entre normais e virados seria a do bloco-molde, uma divisão entre dois inteiros, como 41/6. Número desse tipo se chama racional.

A proporção do chapéu é φ⁴, e a razão áurea é irracional (não pode ser escrita como divisão de dois inteiros). Nenhum bloco-molde produz esse valor, logo nenhum bloco-molde existe.

O argumento depende de uma premissa que a equipe provou no artigo: em todo mosaico de chapéus, a proporção tende a φ⁴ conforme o trecho cresce. Sem essa prova, a conta acima seria só uma suspeita.

Para refazer o raciocínio com outra peça, siga quatro passos.

1. Descreva a peça em unidades de uma malha conhecida, como pipas ou triângulos.

2. Conte, num trecho grande, quantas peças aparecem de cada tipo ou orientação, e anote os dois números.

3. Calcule a proporção entre os tipos e veja se ela se aproxima de uma fração simples.

4. Se a proporção tende a um número irracional, o piso não tem bloco-molde e não se repete.

A mesma conta funciona nas pipas e dardos de Penrose: lá, a proporção entre pipas e dardos tende à própria razão áurea, perto de 1,618, e o piso também nunca se copia.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de conferir a solução, e o placar zera quando você espia fora da hora.

“Se você recortasse 20 chapéus hoje, quantos esperaria virar ao avesso?”

Teste hoje: desenhe uma malha de hexágonos, recorte 14 chapéus em papel, cada um com oito pipas, e tente cobrir a mesa sem deixar vão. Marque com um X cada peça que precisou virar. O esperado é algo perto de 2 viradas em 14; se nenhuma virou, procure o vão escondido entre as peças.

Segundo o texto, quantas formas diferentes tinha o primeiro conjunto de peças que Robert Berger publicou em 1966 para cobrir o plano sem repetição?

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