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Blaise Pascal, matemático e filósofo de Clermont, escreveu a Pierre de Fermat, juiz do parlamento de Toulouse e matemático nas horas vagas, em 29 de julho de 1654. Na carta, resolveu a partida de 64 pistolas parada em 2 a 1 e deu 48 ao líder e 16 ao rival.
Pascal chegou ao número andando para trás. Imagine que a próxima rodada acontece. Se o líder vence, fecha o jogo em 3 a 1 e leva as 64. Se o rival vence, o placar vira 2 a 2, e aí cada um tem chance igual: o justo é 32 para cada.
Então o líder tem 32 pistolas garantidas em qualquer caso. As outras 32 dependem de uma moeda, e o justo é repartir meio a meio: 16 para cada. O líder soma 32 mais 16, 48. O rival fica com 16.
A bolsa se reparte pela chance de cada jogador vencer as rodadas que faltam, e nunca pelas rodadas que ele já venceu.
O caminho de Fermat
Fermat preferia contar. Ele imaginava rodadas fictícias até o ponto em que alguém teria vencido com certeza: aqui, duas rodadas bastam. Duas moedas geram quatro sequências igualmente prováveis: líder e líder, líder e rival, rival e líder, rival e rival. Só a última dá a bolsa ao rival.
Pascal estranhou o método. Na partida real, se o líder vence a primeira rodada fictícia, a segunda nem acontece; contar sequências que nunca seriam jogadas soava como trapaça. Fermat respondeu que jogar ou não a rodada extra não muda o vencedor, e a contagem com rodadas completas fica mais limpa.
As cartas do verão de 1654 mostram os dois cedendo. Pascal aceitou a contagem de Fermat e escreveu que a verdade valia igual em Toulouse e em Paris. O método de Pascal virou o avô do que hoje se chama esperança matemática (o valor médio que cada jogador pode esperar de uma aposta).
O problema tinha idade. Luca Pacioli, frade franciscano e matemático de Sansepolcro, publicou em 1494 a Summa de arithmetica (Suma de aritmética), onde dividia a bolsa na proporção do placar. Era a regra dos 2 para 1.
Niccolò Tartaglia, matemático de Bréscia, desmontou a regra em 1556 com um exemplo. Numa disputa de 60 pontos parada em 10 a 0, Pacioli daria tudo ao líder, que ainda precisava de 50 pontos. Tartaglia concluiu que a questão era mais de juiz que de aritmética, e desistiu de achar a divisão exata.
Quem levou a pergunta a Pascal foi Antoine Gombaud, escritor conhecido como cavaleiro de Méré, frequentador das mesas de Paris. O próprio Pascal, anos depois, organizou a mesma conta numa tabela de números, o Traité du triangle arithmétique (Tratado do triângulo aritmético), impresso em 1665.
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