I  A Resposta de Ontem

A pilha que se entrega numa pesagem

Dez pilhas de moeda, uma delas inteira de moeda falsa, e uma única leitura de balança. Veja o gesto que entrega o número da culpada.

Dez pilhas de moedas em cima da mesa, cem moedas em cada pilha. Nove pilhas são de moeda boa, dez gramas cada uma. Uma pilha inteira é falsa, e cada moeda falsa pesa nove gramas.

Você tem uma balança digital, dessas de mostrador, e pode usar a balança uma vez só. Depois da leitura, você aponta a pilha falsa. Qual é ela?

O reflexo de quase todo mundo é tirar uma moeda de cada pilha e pesar as dez juntas. O mostrador vai acusar quinhentos e noventa e nove gramas em vez de seiscentos, o que prova que existe uma falsa no meio e não diz de onde ela veio. Dez suspeitos entraram na balança falando exatamente a mesma língua.

A saída é dar voz diferente a cada um. Tire uma moeda da primeira pilha, duas da segunda, três da terceira, e siga até tirar dez da décima. São cinquenta e cinco moedas no prato.

Se todas fossem boas, o mostrador marcaria quinhentos e cinquenta gramas. Qualquer número abaixo dessa marca escreve o endereço da pilha falsa: faltou um grama, a culpada é a primeira; faltaram sete gramas, a culpada é a sétima. O tamanho do buraco entrega o nome.

Repare no que mudou entre a tentativa ruim e a boa. As moedas são as mesmas, a balança é a mesma, o número de pesagens é o mesmo. Mudou a pergunta feita a cada pilha.

Na primeira tentativa, as dez foram perguntadas juntas e responderam em coro, então a resposta saiu sem assinatura. Na segunda, cada pilha entrou com uma quantidade própria, e a resposta saiu com endereço.

O princípio que fica vale para muito além de moeda: uma medição carrega tantas respostas quantas forem as marcas que você deixou antes de medir. Informação não nasce no instrumento, nasce na preparação de quem vai usar o instrumento.

O truque tem nome, data e uso fora da mesa. Em 1943, o estatístico Robert Dorfman propôs testar recrutas do exército americano em grupo, misturando amostras de vários homens num exame só para achar os poucos positivos sem gastar um exame por pessoa. Laboratório com pouco reagente usa a mesma ideia até hoje.

Existe um detalhe que separa esse problema do enigma que vem agora. A balança digital devolve um número, e número é uma resposta rica: cabem centenas de valores diferentes num mostrador de três dígitos.

A balança de dois pratos é pobre em comparação. Ela não conta um grama sequer. Ela olha os dois lados e devolve a resposta mais curta possível, e é justamente aí que o problema fica interessante: com um instrumento que quase não fala, quantas perguntas você consegue fazer?

II  O Enigma do Dia

A intrusa que pesa a menos

As nove saíram do mesmo lote. Mesmo diâmetro, mesmo desenho, mesma data, mesmo brilho de metal novo. Na mão a diferença não existe, porque pele humana não é balança e uma fração de grama passa despercebida.

A leve é uma só, e é sempre mais leve, nunca mais pesada. As outras oito pesam exatamente igual entre si, sem margem, sem arredondamento.

O instrumento é uma balança de pratos antiga, sem mostrador e sem número. Você põe moedas de um lado, moedas do outro, e ela responde de um jeito só: se um prato desce, o lado mais leve é o que subiu; se os dois ficam parados no mesmo nível, os dois lados pesam igual.

Duas pesagens, e nada além. Uma pesagem é pôr as moedas nos pratos e ler o resultado. Tirar uma moeda e trocar de lado depois de ler conta como pesagem nova.

Vale deixar moedas fora da balança, e vale usar quantas moedas você quiser em cada prato. Fora da regra: pesar na mão, marcar as moedas, sacudir o prato e pedir uma terceira leitura por garantia.

A exigência é a parte que dói. O método precisa funcionar sempre, em qualquer arranjo possível das nove. Achar a leve num cenário de sorte não conta como resolver, conta como escapar.

A moeda leve também não se anuncia de outra maneira. Ela tem o mesmo som ao cair na mesa, o mesmo brilho sob a luz da cozinha e a mesma espessura sob o dedo. O único sentido capaz de enxergar a diferença é o prato da balança.

Repare no tamanho do problema antes de atacar. São nove candidatas, e cada pesagem devolve uma resposta curtíssima. A conta que interessa é quanta certeza cabe dentro de duas respostas curtas.

Onde quase todo mundo começa

O primeiro impulso é partir o grupo ao meio, do jeito que a gente procura chave perdida dentro de casa: metade aqui, metade ali. Percorra esse caminho até o fim no papel antes de decidir se ele cabe em duas leituras.

Vale escrever a primeira pesagem e, embaixo dela, cada resposta que a balança pode dar naquela divisão. Se alguma dessas respostas deixa você sem plano para a segunda pesagem, a divisão ainda não é a certa.

Nove moedas, uma leve, duas leituras, zero sorte.

Se fechar rápido, existe a versão que tira o sono de quem já resolveu essa: a moeda diferente pode ser mais leve ou mais pesada, e você não sabe qual das duas antes de começar. Mesmo tabuleiro, o dobro de escuridão.

O enunciado está inteiro aqui em cima. Nove moedas, uma leve, uma balança de pratos, duas pesagens, e todas as peças na mesa desde a primeira linha.

III  Sequência

Nove moedas na mesa e um palpite

Pegue nove moedas de verdade agora. Nove de dez centavos, nove tampinhas, nove tampas de caneta: serve qualquer coisa que possa ser separada em grupos e empurrada pela mesa com o dedo.

Quem mexe com a mão resolve mais rápido que quem tenta segurar o tabuleiro inteiro de cabeça. O papel funciona igual: as nove viram nove círculos numerados, e cada pesagem vira uma linha nova embaixo da anterior.

1. Decida a divisão antes de encostar na balança. Quem escolhe as moedas com o prato na frente está chutando, e chute não sobrevive à segunda pesagem.

2. Escreva a primeira pesagem e, embaixo, cada resposta que a balança pode dar. A divisão só serve se você tiver plano pronto para todas elas.

3. Feche o palpite por escrito antes de largar o problema. Palpite guardado só na cabeça vira sempre um confortável eu já sabia.

Pólya escrevia para estudantes de matemática, e a receita serve para qualquer mesa de cozinha. Se as nove travarem, encolha o tabuleiro até ele caber na cabeça, resolva o caso pequeno inteiro e volte para o grande com a mecânica na mão.

A Sequência é o placar de quem fecha o enigma sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução aparecer, e o placar volta a zero no dia em que você espia a resposta antes da hora. A régua é sua, e o orgulho de virar a chave sozinho também.

Ninguém está cronometrando. O enigma trabalha melhor solto: você lê agora, larga, e a resposta costuma chegar no ônibus, na fila do banco ou no meio de uma reunião chata. Aberto às onze da noite, ele disputa espaço com o sono, e o sono ganha.

Se você fechar em cinco minutos, escreva o caminho mesmo assim. A resposta sozinha não serve para o próximo problema. O método serve, e fica com quem registrou o passo a passo com o raciocínio ainda quente.

Um último aviso de jogo limpo. A caçada cabe em duas pesagens, com folga zero. Se o seu método precisa de uma terceira para garantir, ele ainda não é o método.

Nove moedas na mesa da cozinha, uma balança de dois pratos e duas leituras. As nove são iguais em tudo que a vista alcança, e uma delas está mentindo sobre o próprio peso.

A moeda leve já está apontada pelo enunciado. Falta escolher a pergunta certa.

"Quantas respostas cabem numa pesagem só?"

Quiz da edição

Segundo o texto, a partir de que ano as moedas inglesas passaram a sair da Casa da Moeda com o canto trabalhado a máquina?

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