I  A resposta de ontem

Três caixas num livro de 1889

Joseph Louis François Bertrand, matemático francês nascido em Paris em 1822, publicou em 1889 o Calcul des probabilités (cálculo das probabilidades), pela editora Gauthier-Villars. O problema das caixas aparece no livro como exemplo de raciocínio apressado.

Bertrand era então secretário perpétuo da Académie des sciences (Academia de Ciências de Paris), cargo que ocupou de 1874 até 1900, quando morreu aos 77 anos. Escrevia sobre análise, geometria e economia, e tinha fama de professor exigente com quem confundia intuição com prova.

Na versão dele, as caixas são pequenos móveis com duas gavetas, uma moeda em cada gaveta. Abre-se uma gaveta ao acaso, aparece uma moeda de ouro, e a pergunta é a mesma: qual a chance de a outra gaveta guardar ouro?

O argumento errado de propósito

Bertrand escreveu o raciocínio do meio a meio para derrubá-lo. Antes de abrir a gaveta, a chance de a caixa ser a mista é de 1 em 3. Pelo argumento ingênuo, se a moeda vista fosse de ouro, a chance de mista subiria para 1 em 2. Se fosse de prata, também subiria para 1 em 2.

Daí o absurdo. Qualquer moeda que aparecesse levaria à mesma conclusão, então abrir a gaveta mudaria a chance sem trazer informação nova. Um gesto que não informa nada não pode mexer numa probabilidade.

A conclusão de Bertrand: a chance de a caixa ser mista continua 1 em 3 depois de ver ouro, e a de ser a caixa dourada fica em 2 em 3.

Por que o livro precisava do exemplo

O Calcul des probabilités é um livro sobre armadilhas. Nele também está o paradoxo da corda: Bertrand pede a chance de uma corda sorteada num círculo ser maior que o lado do triângulo equilátero inscrito e mostra três métodos de sorteio, cada um com uma resposta diferente, 1/3, 1/2 e 1/4.

A lição das duas histórias é parecida: a palavra “acaso” não basta. É preciso dizer o objeto sorteado, a caixa, a gaveta ou a moeda, e cada escolha muda a resposta.

O nome caixa de Bertrand veio depois, dado por quem passou a citar o exemplo em aulas e manuais de probabilidade. No livro, ele aparece sem rótulo, como um problema entre outros, e o autor não voltou a ele em trabalhos posteriores.

II  O Enigma do dia

Uma quarta caixa entra no jogo

A pergunta parece pedir a mesma resposta, 2 em 3, já que a caixa dourada continua lá. Ou parece pedir menos, já que entrou mais uma caixa com prata. As duas intuições puxam para lados opostos, e só a contagem decide.

O que contar

Esqueça as caixas por um minuto e liste as moedas de ouro, uma por uma, com a caixa de onde cada uma vem. Cada moeda de ouro tem a mesma chance de ser a que apareceu na sua mão, porque todas as caixas têm a mesma chance de ser escolhidas e todas guardam duas moedas.

Depois, para cada moeda de ouro da lista, olhe a companheira dela. A resposta é a fração das moedas de ouro cuja companheira também é ouro.

As pistas

1. Primeira pista: a caixa de prata pura não entra na lista. Nenhuma moeda dela pode ter aparecido.

2. Segunda pista: a caixa dourada dá duas moedas à lista, e cada mista dá uma.

3. Terceira pista: some as moedas de ouro de todas as caixas. O total é o denominador da fração.

4. Quarta pista: conte quantas dessas moedas têm um par dourado ao lado. O resultado é o numerador.

Pergunta extra para quem gosta de exagerar: quantas caixas mistas seria preciso juntar à caixa dourada para a chance de ouro cair para 1 em 4?

Onde a conta escorrega

O primeiro escorregão é dividir por caixas. Com três caixas capazes de ter dado ouro, a tentação é responder 1 em 3, como se cada caixa valesse uma moeda.

O segundo é contar a caixa de prata pura. Ela não pode ter fornecido a moeda vista e entra na conta só como enfeite.

O terceiro é tratar a caixa dourada como um caso só. Tanto a primeira moeda dela quanto a segunda podem ter saído primeiro, e cada uma vale um caso separado.

Escreva a fração antes de seguir.

III  Sequência

Quatro moedas de ouro, meio a meio

A chance é 1 em 2. Com a quarta caixa, a intuição do meio a meio acerta, mas pelo motivo errado.

As moedas de ouro agora são quatro: ouro-1 e ouro-2 na caixa dourada, ouro-3 na primeira mista, ouro-4 na segunda. Cada uma tem chance de 1 em 4 de ser a que você tirou. A companheira de cada uma decide a conta:

1. Saiu ouro-1: a companheira é ouro-2, de ouro.

2. Saiu ouro-2: a companheira é ouro-1, de ouro.

3. Saiu ouro-3: a companheira é de prata.

4. Saiu ouro-4: a companheira é de prata.

Dois casos de ouro em quatro dá 1 em 2. A pergunta extra: cada caixa mista soma uma moeda de ouro ao denominador. Com seis mistas, são oito moedas de ouro, duas com par dourado, e a chance cai para 2 em 8, ou 1 em 4.

O parente da televisão

Em 1975, o estatístico Steve Selvin publicou na revista The American Statistician uma carta com um problema montado sobre o programa Let's Make a Deal (Vamos Fazer um Negócio), apresentado por Monty Hall: três portas, um carro atrás de uma, e um apresentador que abre uma porta vazia antes de oferecer a troca.

Em 1990, a colunista Marilyn vos Savant respondeu na revista Parade que trocar de porta ganha em 2 de cada 3 vezes. Recebeu cartas de leitores, muitas assinadas por professores de matemática, dizendo que a chance era meio a meio. A conta dela estava certa.

A estrutura é a da caixa de Bertrand. A porta aberta pelo apresentador depende de onde está o carro, assim como a moeda vista depende de qual caixa saiu, e a contagem precisa pesar essa dependência.

Pierre-Simon Laplace já tinha dado o tom das duas histórias: “La théorie des probabilités n'est, au fond, que le bon sens réduit au calcul” (a teoria das probabilidades é, no fundo, apenas o bom senso reduzido ao cálculo), Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités (ensaio filosófico sobre as probabilidades), 1814. A caixa de Bertrand mostra o bom senso precisando do cálculo para não tropeçar.

“Na caixa de Bertrand, saiu ouro: qual a chance de a outra moeda ser de ouro?”

2 em 3: das três moedas de ouro possíveis, duas moram na caixa dourada e têm par de ouro.

Teste hoje: corte três cartões, pinte os dois lados do primeiro de vermelho, deixe o segundo branco dos dois lados e pinte só um lado do terceiro. Ponha num saco, tire um cartão, olhe a face de cima e, quando ela for vermelha, vire o cartão. Repita até juntar 30 faces vermelhas e anote quantas vezes o verso também era vermelho. O esperado fica perto de 20; perto de 15 indica um sorteio viciado.

Depois que uma quarta caixa mista entra no jogo das moedas de Bertrand, qual passa a ser a chance de a moeda companheira também ser de ouro?

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