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ED 039

A gaiola de Sunzi tinha 94 pés

O Sunzi Suanjing, manual chinês de aritmética escrito entre os séculos III e V, pergunta quantas galinhas e quantos coelhos cabem em 35 cabeças.

Gaiola de bambu com galinhas e coelhos misturados, vista de cima.

Galinhas e coelhos na mesma gaiola de bambu

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Como descobrir quantas galinhas e quantos coelhos estão numa gaiola fechada sem abrir a porta e separar bicho por bicho? Conta-se cabeça e pé, e o resto sai da sobra. Com 35 cabeças e 94 pés, a gaiola tem 23 galinhas e 12 coelhos, e a conta cabe em duas linhas de papel.

A pergunta está no Sunzi Suanjing (Manual de Aritmética do Mestre Sun), tratado chinês em três volumes escrito entre os séculos III e V, provavelmente na época das dinastias do Sul e do Norte. O autor chamado Sun Tzu do título não tem relação com o general homônimo da Arte da Guerra: os dois nomes coincidem, os dois homens não.

A conta começa por uma mentira útil. Finja que os 35 animais são todos galinha. Nessa gaiola imaginária há 70 pés no chão, e a contagem real acusa 94. Sobram 24 pés sem dono. Cada coelho que você devolve ao lugar de uma galinha acrescenta 2 pés à conta, porque tem 4 e a galinha tinha 2. Vinte e quatro pés sobrando, divididos por 2 pés de acréscimo, dão 12 coelhos. As outras 23 cabeças são galinhas.

O manual chinês ensina a mesma operação como uma cena, não como fórmula. Mande todos os animais levantarem metade dos pés: cada galinha fica num pé só, cada coelho fica em dois. No chão restam 47 pés. Como cada galinha contribui com 1 e cada coelho com 2, a sobra acima das 35 cabeças conta exatamente os coelhos: 47 menos 35 dá 12.

O procedimento é anterior à álgebra simbólica em séculos. Não existe letra x nessas páginas, não existe sinal de igual, não existe sistema de equações escrito em linha. Existe uma suposição errada de propósito e uma correção medida, que é o método chinês do excesso e da falta, ou ying bu zu (excesso e insuficiência).

Comece pela gaiola menor, de 28 cabeças, porque nela cada etapa cabe numa linha e o mecanismo aparece antes de qualquer conta grande.

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I A resposta de ontem

Vinte e oito cabeças e setenta e oito pés

Numa gaiola de bambu há galinhas e coelhos misturados. De cima se contam 28 cabeças, de baixo se contam 78 pés. Quantos são de cada espécie, e como provar que não existe segunda resposta?

Comece pela suposição barata. Se as 28 cabeças fossem todas de galinha, o chão teria 56 pés. A contagem real dá 78, então 22 pés estão a mais do que a suposição permite.

Cada coelho colocado no lugar de uma galinha paga a diferença em 2 pés. Vinte e dois dividido por 2 dá 11 coelhos. As 17 cabeças restantes são galinhas, e a prova é a volta: 17 vezes 2 dá 34, mais 11 vezes 4 dá 44, e a soma fecha em 78.

A resposta é única, e a razão é curta. Fixado o total de cabeças, cada coelho a mais empurra a contagem de pés em exatamente 2, sem repetição e sem pulo. Um total de pés só pode ser alcançado por uma quantidade de coelhos, nunca por duas.

Vinte e oito cabeças e setenta e oito pés não são dois dados soltos: são dois cortes no mesmo bando. O primeiro conta indivíduos, o segundo conta patas, e o cruzamento das duas contagens separa espécies que ninguém viu. Duas medições grosseiras entregam uma informação fina que nenhuma delas tinha sozinha.

Onde a conta escorrega

O primeiro tropeço é dividir 78 por 2 e achar que sobraram 39 animais. A divisão trata todo bicho como galinha e devolve um número maior que as 28 cabeças contadas. Um resultado acima do total de cabeças avisa que a suposição ainda não foi corrigida.

O segundo tropeço é tentar pares na marra. Quem testa 1 coelho, depois 2, depois 3, chega à resposta em onze rodadas e não sai com prova nenhuma de unicidade. A conta da sobra resolve em uma linha e ainda explica por que a resposta é só uma.

O terceiro tropeço é esquecer que o resultado precisa ser inteiro e positivo. Com 28 cabeças e 77 pés, a sobra daria 21, um número ímpar, e a divisão por 2 devolveria meio coelho. Gaiola nenhuma abriga meio coelho, e o enunciado com 77 pés está errado antes de qualquer tentativa.

Guarde o mecanismo, porque a gaiola grande usa o mesmo movimento com números maiores: suposição barata, sobra medida, correção de 2 em 2.

II O Enigma do dia

A gaiola de 35 cabeças e o teto de 140 pés

Numa gaiola há galinhas e coelhos. De cima se contam 35 cabeças, de baixo se contam 94 pés. Três perguntas, e as três pedem prova escrita, não palpite. Primeira: quantas galinhas e quantos coelhos? Segunda: mantidas as 35 cabeças, quais contagens de pés são possíveis, qual o piso, qual o teto e por que nenhum número ímpar entra na lista? Terceira: se o guarda contasse 35 cabeças e 95 pés, qual das duas contagens ele erraria, e como você sabe?

As regras valem reler. Toda cabeça pertence a uma galinha ou a um coelho, sem terceira espécie. Galinha tem 2 pés, coelho tem 4, nenhum animal está machucado nem faltando membro, e a resposta pedida traz o número de cada espécie com a conta de verificação ao lado.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é montar duas equações e parar na primeira. Quem escreve apenas a soma das cabeças tem infinitas respostas, e quem escreve apenas a soma dos pés também. As duas contagens juntas fecham a gaiola, e nenhuma delas fecha sozinha.

O segundo erro é procurar o teto de pés por tentativa. Com 35 cabeças, o mínimo acontece quando todas são galinha, 70 pés, e o máximo quando todas são coelho, 140 pés. Entre os dois extremos, a contagem sobe de 2 em 2, o que produz 36 valores possíveis e nenhum ímpar entre eles.

O terceiro erro é confiar na contagem de pés porque ela parece mais trabalhosa. Pé costuma sair errado da boca do guarda, porque conta rápido e em bichos que se mexem. Cabeça se conta uma por animal, e a contagem de cabeças costuma ser a medida confiável do par.

Duas contagens sobre o mesmo bando valem mais que qualquer uma multiplicada por dois. Contar cabeça duas vezes confirma a cabeça; contar cabeça e pé revela a espécie. Toda vez que um enunciado parece faltar informação, vale conferir se a informação que falta é dado novo ou apenas um segundo ângulo sobre o dado que já está na mesa.

Responda as três com prova. Escreva quantas galinhas e quantos coelhos há na gaiola, liste o piso e o teto de pés com a razão do passo de 2, e diga qual contagem está corrompida no caso dos 95 pés.

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III Sequência

A folha, o lápis e as patas no ar

O material é uma folha, um lápis e dez minutos. O procedimento abaixo resolve qualquer gaiola de duas espécies, com qualquer contagem de cabeças e pés, sem tentativa jogada fora.

1. Multiplique as cabeças pelo menor número de pés. Com 35 cabeças e a galinha valendo 2, escreva 70. Esse número é a gaiola imaginária em que toda cabeça é da espécie mais leve.

2. Subtraia o resultado da contagem real de pés. Com 94 pés reais, a sobra dá 24. Essa sobra é a dívida que só a espécie pesada consegue pagar.

3. Divida a sobra pelo salto entre as espécies. O coelho tem 4 pés e a galinha tem 2, então cada troca paga 2 pés, e 24 dividido por 2 dá 12 coelhos. As cabeças restantes, 23, são galinhas.

4. Confira pela volta antes de fechar a folha. Vinte e três vezes 2 dá 46, doze vezes 4 dá 48, a soma dá 94 pés e a contagem de cabeças fecha em 35. Se a divisão do passo 3 não der um inteiro, o enunciado está corrompido e nenhuma resposta existe.

"今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何？" (Há faisões e coelhos na mesma gaiola. Em cima, 35 cabeças; embaixo, 94 pés. Quantos são de cada?)

Sunzi Suanjing, livro III, problema 31, compilado entre os séculos III e V.

O animal do texto original é o faisão, não a galinha doméstica, e a troca aconteceu na estrada. O problema atravessou o mar e virou o tsurukamezan japonês (cálculo do grou e da tartaruga), com aves de 2 pés e cascos de 4 pés no lugar dos bichos chineses, e chegou às escolas ocidentais já com galinha na gaiola.

O mesmo Sunzi Suanjing guarda um problema mais famoso que o da gaiola: achar o número que deixa resto 2 na divisão por 3, resto 3 na divisão por 5 e resto 2 na divisão por 7. A solução do manual é o embrião do que a matemática moderna chama teorema chinês do resto, batizado assim por causa dessas páginas.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

O método das patas levantadas continua trabalhando longe de qualquer gaiola: ele aparece na mistura de dois produtos com preços distintos até um total fechado e na liga de dois metais a partir do peso e do volume da peça.

A gaiola de Sunzi é uma aula sobre medir o que não se pode abrir. Ninguém separou os bichos, ninguém tocou num só, e mesmo assim a espécie de cada cabeça ficou decidida. Duas contagens tomadas de ângulos diferentes valem uma inspeção que a porta trancada não permitia.

"Quantas vezes você pediu para abrir a caixa quando bastava medi-la por dois lados?"

Teste hoje, em dez minutos: abra a despensa e escolha duas embalagens de pesos conhecidos, por exemplo latas de 400 gramas e pacotes de 1 quilo. Peça a alguém que monte uma sacola sem te mostrar o conteúdo, informando só quantas peças entraram e o peso total na balança da cozinha. Resolva pelo passo 1 ao 4 e cronometre. Na primeira sacola você gasta perto de dois minutos; na quinta, com a sobra e o salto na cabeça, cada uma sai em menos de trinta segundos. A queda no cronômetro mede o instante em que o procedimento substituiu o chute.