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O material é papel, lápis, uma calculadora e dez minutos. O procedimento abaixo fecha os três casos e serve pra qualquer situação em que um perímetro cresce e você quer saber o efeito no raio.
1. Escreva as duas circunferências. Perímetro original igual a dois pi vezes R, perímetro novo igual a dois pi vezes R linha. Nunca calcule cada perímetro separadamente: o objetivo é a diferença.
2. Subtraia uma da outra. O acréscimo de comprimento, chame de L, iguala dois pi vezes a diferença dos raios. Daí sai a fórmula que resolve o problema inteiro: a variação do raio vale L dividido por dois pi, ou seja L vezes 0,159.
3. Inverta a fórmula quando a pergunta vier pelo outro lado. Se você quer uma folga h conhecida, o comprimento a emendar vale dois pi vezes h, isto é 6,28 vezes h. Subir um metro pede 6,28 metros de corda, na laranja ou no planeta.
4. Separe o caso concentrado. Se a sobra vai pra um ponto único, a corda vira dois segmentos tangentes mais o arco restante, e a relação passa a envolver tangente de um ângulo. A equação fica dois R vezes a tangente menos o ângulo igual a L, e ela pede resolução numérica.
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"Um grande descobrimento resolve um grande problema, mas há uma pitada de descoberta na solução de qualquer problema."
George Pólya, A Arte de Resolver Problemas, 1945.
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As três respostas saem sem sobra. A laranja devolve os mesmos 15,9 centímetros do planeta, porque o raio sumiu na subtração e restou 1 sobre 2 pi. Erguer a corda um metro na volta inteira do Equador custa 6,28 metros de emenda, e não os milhares que a intuição promete. O terceiro cenário, com um metro de sobra puxado num ponto só, ergue a corda a 121,5 metros de altura, algo como um prédio de quarenta andares, porque a sobra deixou de se dividir pela volta e se concentrou num vértice.
A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes da solução chegar, e o placar zera quando você espia fora da hora.
A fórmula viaja bem. Ela explica por que um anel de dedo aumenta de aro com um acréscimo mínimo de metal, por que trilhos de trem precisam de juntas milimétricas pra absorver dilatação térmica, e por que uma cinta de aço em volta de um tanque industrial afrouxa de forma perceptível quando o metal esquenta poucos graus. A grandeza que muda é sempre o raio, e ele responde a uma divisão por 6,28.
Comparação errada produz intuição errada. O metro parecia nulo porque foi medido contra a volta inteira; medido contra o raio, que é o que a folga movimenta, ele é enorme. Toda vez que uma resposta parecer absurda, confira se você comparou as grandezas certas.
"Quantas conclusões você já descartou por compará-las com o número errado?"
Teste hoje, em cinco minutos: pegue uma lata de refrigerante, meça o perímetro dela com um barbante e anote. Corte o barbante nessa medida e acrescente 6,3 centímetros. Feche o laço, apoie ao redor da lata e afaste o barbante até ele ficar circular: a distância entre ele e a lata vai dar um centímetro certinho, em qualquer ponto. Repita com uma garrafa muito mais grossa acrescentando os mesmos 6,3 centímetros e meça de novo: dá um centímetro outra vez, e a cabeça aceita o resultado que a conta já tinha entregado.
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